二维逆问题/Calderon 逆问题

Calderon 提出的以下逆问题具有许多潜在的实际应用，并且在过去几十年中受到了广泛关注，参见 [Uh]。这是从狄利克雷-诺伊曼算子恢复物体电导率的问题。

给定一个区域，在其上具有正可测函数，狄利克雷-诺伊曼算子连接$\gamma$-调和函数在$H^{1}(\Omega )$中的狄利克雷和诺伊曼边界值，定义在该区域上。它是一个一阶伪微分算子。

$\Lambda :H^{1/2}(\partial \Omega )\rightarrow H^{-1/2}(\partial \Omega )$

在 1D 中，只能恢复一个数字（电导率倒数的积分）。在高于 2 的维度中，问题是过度确定的。在这些情况下已解决 @[KV] & [SU]。

在 2D 的情况下，测量参数和未知参数的维度完全吻合。最近证明，如果电导率在一个包含可微函数的加权空间中 [N]，并且如果它是可测的并且从 0 到无穷大是有界的 [AP]，则狄利克雷-诺伊曼映射唯一地确定二维简单连通有界区域中的电导率。

$0<1/c<\gamma <c<\infty .$

在 2D 的情况下，可以使用希尔伯特变换（本书后面定义）在调和函数的边界值及其共轭之间，对**可测**电导率（相对于可微）的算子进行定义（参见 [AP]）。

本书中，该问题也针对平面电网络进行了阐述，这允许通过离散化技术对逆问题进行不同的求解方法，该方法由 Druskin 等人在 Schlumberger-Doll 研究中心实施，参见 [BDK] 和 [BDMV]。