二维逆问题/Pick-Nevanlinna 插值

关于分层逆问题的一些问题可以简化为 Pick-Nevanlinna 插值问题：给定一个函数在域 *D* 或 *C⁺* 中特定点的值，找到它的解析延拓到域的自同构。

更正式地说，如果 *z*₁, ..., *z*_*N* 和 *w*₁, ..., *w*_*N* 是单位圆盘或复数右半平面中的一组点，那么我们寻求一个定义在整个域中的解析函数 *f*，使得

$f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} {\mbox{ or }}f:\mathbb {C} ^{+}\to \mathbb {C} ^{+}$,

并且

$f(z_{k})=w_{k},k=1,2,\dots ,N.$

函数 *f* 可以选择一个有理 Stieltjes 连分数或 Blaschke 积，具体取决于问题中的域。插值函数存在（见 [M]）当且仅当矩阵

$\left({\frac {1-w_{k}{\overline {w_{l}}}}{1-z_{k}{\overline {z_{l}}}}}\right)_{k,l=1}^{N}{\mbox{ and }}\left({\frac {w_{k}+w_{l}}{z_{k}+z_{l}}}\right)_{k,l=1}^{N}$

分别为正半定。插值函数唯一当且仅当对应的矩阵是奇异的。如果矩阵不是奇异的，那么将有无限多个插值连分数，其级数大于 *N*。

由于对应的网络具有相同的 Dirichle-to-Neumann 算子，因此任何一对这样的网络可以通过有限个 Y-Δ 变换互相转换。中间图没有旋转对称性，这提供了一个 **对称性破缺** 的例子。

练习 (**)。利用 Pick-Nevanlinna 插值问题的解，找到一个算法，用于根据插值数据计算 Stieltjes 连分数的系数。