二维逆问题/分层逆问题解法

旋转不变网络的狄利克雷-诺伊曼算子在傅里叶坐标系中是关于对角线的。直接计算表明，它由其特征值决定，而特征值由 Stieltjes 连分数在减去离散边界拉普拉斯算子 L 的特征值处求值得到。也就是说

$\Lambda _{G}={\sqrt {L}}\beta ({\sqrt {L}}),$

其中

$L={\begin{pmatrix}2&-1&0&\ldots &-1\\-1&2&-1&\ldots &0\\0&\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\vdots &-1&2&-1\\-1&0&\ldots &-1&2\\\end{pmatrix}}$

或者

$\Lambda _{G}{\begin{pmatrix}1\\z\\z^{2}\\\ldots \\z^{2n}\end{pmatrix}}=(z\beta (z))\circ (i({\sqrt {z}}-{\frac {1}{\sqrt {z}}})){\begin{pmatrix}1\\z\\z^{2}\\\ldots \\z^{2n}\end{pmatrix}},z^{2n+1}=1$

因此，可以将分层逆问题简化为 Pick-Nevanlinna 插值问题，特征值作为数据。然后，网络的电导率由连分数的系数及其倒数给出，可以通过欧几里得算法求得。

逆问题的连续模拟可以转化为 Krein 弦的逆问题，在本书前面已经讨论过。