二维逆问题/两个新的谱定理

图及其对偶中具有以下性质的路径的存在对图的全局和局部性质之间的联系起着重要作用：图及其对偶中两个边界节点子集之间的两组路径，如果路径经过图或其对偶的每条边，则为哈密顿。

以下恒等式将网络及其对偶的路径权重、网络上的电导率积分以及允许哈密顿路径的对偶图的拉普拉斯算子的行列式联系起来。

{\frac {\det \Lambda (P,Q)}{\det \Lambda ^{*}(P^{*},Q^{*})}}=\prod _{e\in E}\gamma (e){\frac {\det(C^{*})}{\det(C)}}.

令G为嵌入到曲面上的图，使得G的所有面都为三角形。这种嵌入称为三角剖分。三角剖分的对偶图G^*的顶点度为3。

练习 (***)。 将以下示例推广以证明G^*和M(G)的谱相等，除了可能的特征值{6}：

\sigma (G^{*})\cup \{6\}=\sigma (M(G))\cup \{6\}