二维反问题/ 无穷示例

以下构造提供了一个无穷图的示例，其中狄利克雷-诺伊曼算子满足本章标题中的算子方程。

$\Lambda (G)={\sqrt {L}}.$

算子方程反映了无穷图的自对偶性和自对称性。

自对偶且自对称的无穷图

练习 (**). 证明具有自然边界的图的狄利克雷-诺伊曼算子满足函数方程。(提示) 使用算子/矩阵是舒尔补的不动点的这一事实。

$\Lambda (G)={\begin{pmatrix}2I&B\\B^{T}&\Lambda +2I\end{pmatrix}}/(\Lambda +2I),$

其中

$B={\begin{pmatrix}-1&0&0&\ldots &-1\\-1&-1&0&\ldots &0\\0&\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &-1&0\\0&0&\ldots &-1&-1\\\end{pmatrix}}$

是第一差分的循环矩阵。