算子代数/第一个 K 群

定义 (K1):

练习

1. 给定一个循环 $\gamma :[0,1]\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$，我们将其与它的绕数联系起来 ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{1}\operatorname {tr} (\gamma (t)^{-1}\gamma '(t))dt$
   1. 证明这个数是一个整数，并参考一维情况下的相应结果。
   2. 证明如果 $\gamma :[0,1]\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ 和 $\rho :[0,1]\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ 是循环，并且存在一个同伦 $H:[0,1]^{2}\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ 从 $\gamma$ 到 $\rho$ 的循环，并且在沿着固定循环移动时变化的成分中连续可微，那么 $\gamma$ 和 $\rho$ 的绕数相等。
   3. 证明如果 $K_{1}$ 被视为一个群，那么绕数会诱导一个群同态 $K_{1}({\mathcal {C}}(S^{1},\mathbb {C} ))\to \mathbb {Z}$.
   4. 证明这个群同态是满射的。
   5. 证明矩阵值路径的绕数等于其逐点行列式的绕数。