算子代数/冯·诺依曼代数

算子代数

定义（算子代数）:

令 $X$ 是一个在域 $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 上的巴拿赫空间。考虑从 $X$ 到自身的界线性函数的集合 $B(X)$。这个

算子拓扑

巴拿赫空间上的拓扑

定义（弱拓扑）:

令 $X$ 是一个巴拿赫空间，并令 $X^{*}$ 是它的对偶空间。 $X$ 上的弱拓扑被定义为关于映射 $x\mapsto x^{*}(x)$ 的初始拓扑，其中 $x^{*}$ 在 $X^{*}$ 中变化。

定理（弱拓扑的性质）:

专门用于算子空间的拓扑

命题（赋范空间上的有界算子在范数拓扑下构成巴拿赫空间）:

令 $X$ 是一个巴拿赫空间，并用

定义（一致拓扑）:

冯·诺依曼代数，基本结构

定义（冯·诺依曼代数）:

冯·诺依曼代数 是一个子代数 $A\leq B(H)$，它在弱算子拓扑下是闭的。