定义（字典序）:
令 ( S α , ≤ α ) α ∈ A {\displaystyle (S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}} 为预序集，其中 A {\displaystyle A} 是良序集。在 ⋃ α ∈ A {\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}} ，即笛卡尔积上定义一个序关系，
命题（由偏序集导出的字典序是偏序集）:
当 {\displaystyle }
命题（由全序集导出的字典序是全序集）:
当 A {\displaystyle A} 是良序集，并且 ( S α , ≤ α ) α ∈ A {\displaystyle (S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}} 是全序集时， ∏ α ∈ A S α {\displaystyle \prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }} 上的字典序是全序。
证明： 设任意两个元素 ( s α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}} 和 ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 为 ∏ α ∈ A S α {\displaystyle \prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }} 中的元素。 那么要么 ( s α ) α ∈ A = ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}=(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} ，要么存在一个最小的 β ∈ A {\displaystyle \beta \in A} 使得 s β ≠ t β {\displaystyle s_{\beta }\neq t_{\beta }} 。 由于 ≤ β {\displaystyle \leq _{\beta }} 是完全的，要么 s β < t β {\displaystyle s_{\beta }<t_{\beta }} 要么 s β > t β {\displaystyle s_{\beta }>t_{\beta }} ，因此要么 ( s α ) α ∈ A < ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}<(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 要么 ( s α ) α ∈ A > ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}>(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
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