序理论/预序类和偏序类

定义（预序类）:

一个预序类是一个集合 $S$ 以及一个二元关系 $\leq \subset S\times S$，满足以下公理

1. $\forall s\in S:s\leq s$（自反性）
2. $\forall r,s,t\in S:(s\leq r\wedge r\leq t\Rightarrow s\leq t)$（传递性）

定义（偏序类）:

一个偏序类（部分有序类的缩写）是一个预序类 $(S,\leq )$，满足以下附加公理

3. $\forall s,t\in S:s\leq t\wedge t\leq s\Rightarrow s=t$（反对称性）

示例（幂集的子集按包含排序）:

令 $S$ 为任意集合，并令 $\sigma \subset {\mathcal {P}}(X)$。然后在 $\sigma$ 上定义的关系

$S\leq T:\Leftrightarrow S\subseteq T$

是在 $\sigma$ 上的一个序。

定义（序同态）:

设$(S,\leq )$和$(T,\preceq )$是预序类。从$(S,\leq )$到$(T,\preceq )$的序同态是一个类函数$f:S\to T$，使得对于所有的$x,y\in S$，都有$x\leq y\Rightarrow f(x)\preceq f(y)$。

定义（单调类函数）:

设$S,T$是集合，并且设$\leq _{S}$是$S$上的预序，$\leq _{T}$是$T$上的预序。一个类函数$f:S\to T$被称为关于$\leq _{S}$和$\leq _{T}$是单调的，当且仅当$f$是从$(S,\leq _{S})$到$(T,\leq _{T})$的序同态。

定义（反单调类函数）:

设 $S,T$ 是具有预序 $\leq _{S},\leq _{T}$ 的集合。则从 $S$ 到 $T$ 的关于偏序 $\leq _{S}$ 和 $\leq _{T}$ 的**反单调类函数**是一个类函数 $f:S\to T$，使得

$x\leq _{S}y\Rightarrow f(y)\leq _{T}f(x)$.

定义（乘积序）:

设 $(S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是预序类的族。笛卡尔积 $\prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }$ 上的**乘积序**是由

$(s_{\alpha })_{\alpha \in A}\leq (t_{\alpha })_{\alpha \in A}:\Leftrightarrow \forall \alpha \in A:s_{\alpha }\leq t_{\alpha }$.