序理论/预序类和偏序类

定义（预序类）:

一个预序类是一个集合 $S$ 以及一个二元关系 $\leq \subset S\times S$ 满足以下公理

1. $\forall s\in S:s\leq s$ （自反性）
2. $\forall r,s,t\in S:(s\leq r\wedge r\leq t\Rightarrow s\leq t)$ （传递性）

定义（偏序类）:

一个偏序类（部分有序类的简称）是一个预序类 $(S,\leq )$，满足以下附加公理

3. $\forall s,t\in S:s\leq t\wedge t\leq s\Rightarrow s=t$ （反对称性）

示例（幂集的子集按包含关系排序）:

令 $S$ 为任意集合，令 $\sigma \subset {\mathcal {P}}(X)$。然后，定义在 $\sigma$ 上的关系

$S\leq T:\Leftrightarrow S\subseteq T$

是 $\sigma$ 上的序。

定义（序同态）:

设 $(S,\leq )$ 和 $(T,\preceq )$ 是预序类。从 $(S,\leq )$ 到 $(T,\preceq )$ 的**序同态**是一个类函数 $f:S\to T$，使得对于所有 $x,y\in S$，都有 $x\leq y\Rightarrow f(x)\preceq f(y)$。

定义（单调类函数）:

设 $S,T$ 是集合，设 $\leq _{S}$ 是 $S$ 上的预序，而 $\leq _{T}$ 是 $T$ 上的预序。如果一个类函数 $f:S\to T$ 是从 $(S,\leq _{S})$ 到 $(T,\leq _{T})$ 的序同态，则称该函数 $f$ 关于 $\leq _{S}$ 和 $\leq _{T}$ 是**单调**的。

定义（反单调类函数）:

令 $S,T$ 为具有预序 $\leq _{S},\leq _{T}$ 的集合。那么，关于偏序 $\leq _{S}$ 和 $\leq _{T}$，从 $S$ 到 $T$ 的 **反单调类函数** 是一个类函数 $f:S\to T$，使得

$x\leq _{S}y\Rightarrow f(y)\leq _{T}f(x)$.

定义（乘积序）:

令 $(S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为预序类的族。直积 $\prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }$ 上的 **乘积序** 是由以下关系式给出的序：

$(s_{\alpha })_{\alpha \in A}\leq (t_{\alpha })_{\alpha \in A}:\Leftrightarrow \forall \alpha \in A:s_{\alpha }\leq t_{\alpha }$.