序理论/Grothendieck 公理

AB3、AB3*、AB5 和 AB5* 实际上是由冯·诺伊曼提出的，但 Grothendieck 的名字一直被沿用。

定义（AB3）:

如果对于所有以集合 $A$ 为索引的族 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$，预序类 $(S,\leq )$ 满足第三 Grothendieck 公理 AB3，则存在一个最小上界 $\bigvee _{\alpha \in A}x_{\alpha }$。

定义（AB3*）:

如果对于所有以集合 $A$ 为索引的族 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$，预序类 $(S,\leq )$ 满足对偶第三 Grothendieck 公理 AB3*，则存在一个最大下界 $\bigwedge _{\alpha \in A}x_{\alpha }$。

定义（AB5）:

如果对于所有 $(S,\leq )\in {\mathcal {B}}$ 和所有 $S$ 元素的族 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$，以及每个元素 $y\in S$，预序集类 ${\mathcal {B}}$ 满足第五 Grothendieck 公理 AB5，当且仅当

$\left(\bigvee _{\alpha \in A}x_{\alpha }\right)\wedge y=\bigvee _{\alpha \in A}(x_{\alpha }\wedge y)$

定义（AB5*）:

如果对于所有 $(S,\leq )\in {\mathcal {B}}$ 和所有元素族 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$，其中元素属于 $S$，并且对于每个元素 $y\in S$，都有，那么预序集的类 ${\mathcal {B}}$ 被称为满足 **对偶第五个 Grothendieck 公理 AB5***。

$\left(\bigwedge _{\alpha \in A}x_{\alpha }\right)\vee y=\bigwedge _{\alpha \in A}(x_{\alpha }\vee y)$

定义 (AB6):

如果对于所有 $(S,\leq )\in {\mathcal {B}}$，那么预序集的类 ${\mathcal {B}}$ 被称为满足 **第六个 Grothendieck 公理 AB6**。