定义 (全序):
一个集合 S {\displaystyle S} 上的序 ≤ {\displaystyle \leq } 被称为 **全序** 当且仅当对于每个 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} ，以下可能性之一且仅之一成立： x < y {\displaystyle x<y} ， x = y {\displaystyle x=y} 或 x > y {\displaystyle x>y} 成立。
{{proposition|由全序诱导的序列序是全序|无论何时 A {\displaystyle A} 是一个全序集
命题 (由全序诱导的字典序是全序):
无论何时 A {\displaystyle A} 是一个良序集，并且 ( S α , ≤ α ) α ∈ A {\displaystyle (S_{\alpha },\leq _{\alpha })_{\alpha \in A}} 是全序集，则在 ∏ α ∈ A S α {\displaystyle \prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }} 上的字典序是全序。
证明： 设任意两个元素 ( s α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}} 和 ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 在 ∏ α ∈ A S α {\displaystyle \prod _{\alpha \in A}S_{\alpha }} 中给出。则要么 ( s α ) α ∈ A = ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}=(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} ，要么存在一个最小的 β ∈ A {\displaystyle \beta \in A} 使得 s β ≠ t β {\displaystyle s_{\beta }\neq t_{\beta }} 。由于 ≤ β {\displaystyle \leq _{\beta }} 是全序的，要么 s β < t β {\displaystyle s_{\beta }<t_{\beta }} 或 s β > t β {\displaystyle s_{\beta }>t_{\beta }} ，因此要么 ( s α ) α ∈ A < ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}<(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 或 ( s α ) α ∈ A > ( t α ) α ∈ A {\displaystyle (s_{\alpha })_{\alpha \in A}>(t_{\alpha })_{\alpha \in A}} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
