材料弹性概述/各向异性响应

本节介绍线性各向异性响应。

到目前为止，我们已经开发了描述应力和应变的符号，并用$E$，$G$和$\nu$等材料参数写出了这两个之间的表达式。所有这些都在均质、各向同性固体的假设下。这通常是一个相当好的近似，您可能会认出这里推导的表达式。希望本节能为您提供对固体力学以及其他材料相关主题的见解。

我们将从一个例子开始。考虑一种首先很热然后突然淬火到低温的脆性材料。这会导致热冲击和断裂。因此，零件从$T_{max}$淬火到$T_{min}$，其中$\Delta T=T_{max}-T_{min}$.

众所周知，热应力为（未经证明）

$\sigma _{TH}=-{\frac {\alpha \Delta TE}{(1-2\nu )}}$           [1]

其中$\alpha$是热膨胀系数。

它来自哪里？我们知道这是静水压应力

$\sigma _{ii}={\frac {E}{1-2\nu }}\varepsilon _{kk}$

可以改写为

$\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})$

其中

$\sigma _{m}={\frac {1}{3}}\sigma _{ii}$

那么必须近似地认为

${\frac {1}{3}}\Delta =\alpha \Delta T$

对于半径为$r$的球形、圆形缺陷或裂纹，能量为

$U_{TOT}=U_{o}-U_{STRAIN}+U_{SURF}$           [2]

其中 $U_{TOT}$ 是系统的总能量，而 $U_{o}$ 是无应力、无裂纹且体积为 $V_{o}$ 的系统的能量。

应变能为：

$U_{STRAIN}={\frac {V_{o}\sigma _{TH}^{2}}{2E}}-{\frac {N\sigma _{TH}^{2}}{2E}}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}$           [3]

其中 $N$ 是裂纹的数量。

这来自哪里？我们对施加正应力时的应变能表达式为：

$U_{o}^{NORMAL}={\frac {1}{2}}{\frac {\sigma _{11}^{2}}{E}}$

其中 $U_{o}^{NORMAL}$ 是单位体积的能量。

因此，方程 3 中的第一项仅仅是由于热应变引起的能量。第二项是当 $N$ 个体积为 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ 的裂纹打开时释放的应变（我们减去这一项是因为应变正在释放）。

$N\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right){\frac {\sigma _{TH}^{2}}{2E}}$

这是合理的嗎？这可能略微低估了。最后，最后一项是：

$U_{SURF}=NG_{c}\pi r^{2}$           [4]

其中 $G_{c}$ 是产生新表面的韧性能量（单位为 $J/m^{2}$）。注意，对于理想的脆性材料，$G_{c}=2\gamma$。

在本例中，使用了各向同性弹性，这在大多数情况下是对于块状多晶或非晶固体的合理近似。有时我们不能假设固体是各向同性的。这在处理单晶系统时最为常见，例如图 1中的系统。观察图 1，即使$|P_{1}|=|P_{3}|$，沿$|P_{1}|$方向拉伸会遇到与沿$|P_{2}|$方向拉伸不同的抵抗力（胡克定律中的比例常数）。

图 1：单晶系统的示例，其中键以弹簧状方式表现。

胡克定律的各向异性表达式是张量关系

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}$           [5]

$\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\sigma _{kl}$           [6]

其中$C_{ijkl}$是刚度或弹性常数，而$S_{ijkl}$是弹性柔度。

这里，主要关注的是$C_{ijkl}$，但两者表现相似。弹性常数张量是将两个二阶张量连接起来的四阶张量。在方程 5中，等式右侧是关于$k$和$l$的双重求和，导致求和中出现 9 项。由于有 9 个$\sigma _{ij}$的表达式，因此${\boldsymbol {C}}$中共有 81 个元素。这似乎是一个很大的数字，但它们是唯一的吗？我们知道${\boldsymbol {\sigma }}$和${\boldsymbol {\varepsilon }}$是对称的，因此

$\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\rightarrow C_{ijkl}=C_{jikl}$

以及

$\varepsilon _{kl}=\varepsilon _{lk}\rightarrow C_{ijkl}=C_{ijlk}$

这将弹性常数的数量从 81 个减少到 36 个唯一值。为了进一步简化，我们必须考虑弹性能。我们知道系统的能量是

$U_{o}={\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}$           [7]

图 2：均匀弹性应力-应变曲线的示例。曲线下的面积突出显示，表示总弹性能。

如图 2所示。

对于均匀弹性载荷，我们可以写成

$dU_{o}=\sigma _{ij}d\varepsilon _{ij}$           [8]

这是以下内容的叠加：

${\begin{aligned}dU_{o}&=\sigma _{11}d\varepsilon _{11}+\sigma _{12}d\varepsilon _{12}+\sigma _{13}d\varepsilon _{13}\\&+\sigma _{21}d\varepsilon _{21}+\sigma _{22}d\varepsilon _{22}+\sigma _{23}d\varepsilon _{23}\\&+\sigma _{31}d\varepsilon _{31}+\sigma _{32}d\varepsilon _{32}+\sigma _{33}d\varepsilon _{33}\end{aligned}}$           [9]

现在我们将考虑从初始状态$\sigma =\varepsilon =0$ 开始，并对$\varepsilon _{11}$ 进行应变。这增加了内能，即储存在键中的能量，增加量为

$dw_{1}=\sigma _{11}d\varepsilon _{11}=C_{1111}\varepsilon _{11}d\varepsilon _{11}$           [10]

其中$\sigma _{11}=C_{1111}\varepsilon _{11}$ 来自方程 5（除$\varepsilon _{11}$ 之外的所有应变均为零）。

对该公式进行积分

$\int _{0}^{w_{1}}dw_{1}=\int _{0}^{\varepsilon _{11}}C_{1111}\varepsilon _{11}d\varepsilon _{11}$

得出

$w_{1}={\frac {1}{2}}C_{1111}\varepsilon _{11}^{2}$           [11]

现在施加第二个应变变形$\varepsilon _{22}$，并进行积分

$\int _{0}^{w_{2}}dw_{2}=\int _{0}^{\varepsilon _{22}}\sigma _{22}d\varepsilon _{22}=\int _{0}^{\varepsilon _{22}}(C_{2222}\varepsilon _{22}+C_{2211}\varepsilon _{11})d\varepsilon _{22}$

使用公式5和所有 $\varepsilon =0$ 除了 $\varepsilon _{11}$ 和 $\varepsilon _{22}$这一事实，可得

$w_{2}={\frac {1}{2}}C_{2222}\varepsilon _{22}^{2}+C_{2211}\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}$           [12]

那么总功为

$w_{TOT}=w_{1}+w_{2}={\frac {1}{2}}C_{1111}\varepsilon _{11}^{2}+{\frac {1}{2}}C_{2222}\varepsilon _{22}^{2}+C_{2211}\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}$           [13]

现在想象一下，我们反转顺序；首先施加 $\varepsilon _{22}$，然后施加 $\varepsilon _{11}$。

$w_{1}'={\frac {1}{2}}C_{2222}\varepsilon _{22}$

$w_{2}'={\frac {1}{2}}C_{1111}\varepsilon _{11}^{2}+C_{1122}\varepsilon _{22}\varepsilon _{11}$

$w_{TOT}'={\frac {1}{2}}C_{1111}\varepsilon _{11}^{2}+{\frac {1}{2}}C_{2222}\varepsilon _{22}^{2}+C_{1122}\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}$           [14]

在线性范围内，叠加原理成立，因此顺序无关紧要，并且

${\begin{aligned}w_{TOT}=w_{TOT}'\\\therefore C_{2211}=C_{1122}\end{aligned}}$

这可以推广到

$C_{ijkl}=C_{klij}$

这将唯一的弹性常数数量减少到 21 个。这是任意晶体必须指定的弹性常数的最少数量。

晶体对称性简化

幸运的是，张量关系与晶体的对称性相关。对于高对称性晶体，例如立方晶体，只需要 3 个唯一值，而且还存在很多零值。可以使用以下规则来简化符号

1. 所有 $C_{iiii}=C_{1111}$
2. 所有 $C_{iijj}=C_{1122}$
3. 所有 $C_{ijij}=C_{2323}$
4. 所有其他 $C_{ijkl}=0$ （方程式 1-3 中没有）。

这使得情况变得简单得多。接下来，我们将使用下面表格中描述的 Voigt 符号来简化符号。

${\boldsymbol {ij}}$ 对	11	22	33	23	31	12
m	1	2	3	4	5	6

这通常（并非总是）在教科书和手稿中找到。在这个符号中，功为

${\begin{aligned}dw&=\sigma _{1}d\varepsilon _{1}+\sigma _{6}d\varepsilon _{6}+\sigma _{5}d\varepsilon _{5}\\&+\sigma _{6}d\varepsilon _{6}+\sigma _{2}d\varepsilon _{2}+\sigma _{4}d\varepsilon _{4}\\&+\sigma _{5}d\varepsilon _{5}+\sigma _{4}d\varepsilon _{4}+\sigma _{3}d\varepsilon _{3}\\dw&=\sigma _{1}d\varepsilon _{1}+\sigma _{2}d\varepsilon _{2}+\sigma _{3}d\varepsilon _{3}+2\sigma _{4}d\varepsilon _{4}+2\sigma _{5}d\varepsilon _{5}+2\sigma _{6}d\varepsilon _{6}\end{aligned}}$

使用 Voigt 符号，我们现在可以写出应力-应变关系

${\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {\varepsilon }}$

将原始的 4D 格式转换为 2D 格式。

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\text{C}}_{11}&{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{13}&{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{16}&{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{16}\\{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{22}&{\text{C}}_{23}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{26}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{26}\\{\text{C}}_{13}&{\text{C}}_{23}&{\text{C}}_{33}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{36}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{36}\\{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}\\{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}\\{\text{C}}_{16}&{\text{C}}_{26}&{\text{C}}_{36}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}\\{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}\\{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}\\{\text{C}}_{16}&{\text{C}}_{26}&{\text{C}}_{36}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{matrix}}\right]$           [15]

在这种格式下，仍然可以将向量和张量 ${\boldsymbol {C}}$ 同时进行转换。这可以进一步简化为

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\text{C}}_{11}&{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{13}&{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{16}\\{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{22}&{\text{C}}_{23}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{26}\\{\text{C}}_{13}&{\text{C}}_{23}&{\text{C}}_{33}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{36}\\{\text{C}}_{14}&{\text{C}}_{24}&{\text{C}}_{34}&{\text{C}}_{44}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{46}\\{\text{C}}_{15}&{\text{C}}_{25}&{\text{C}}_{35}&{\text{C}}_{45}&{\text{C}}_{55}&{\text{C}}_{56}\\{\text{C}}_{16}&{\text{C}}_{26}&{\text{C}}_{36}&{\text{C}}_{46}&{\text{C}}_{56}&{\text{C}}_{66}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\gamma _{4}\\\gamma _{5}\\\gamma _{6}\end{matrix}}\right]$           [16]

然而，这包含了剪切应变分量 ($\gamma$)，这意味着在这种表示中，$C$ 不是张量，而是一个矩阵。这是因为张量的旋转特性不满足。我们可以通过写出 **公式 15** 中的其中一个应力来了解这两个之间的关系

$\sigma _{1}=C_{11}\varepsilon _{1}+C_{12}\varepsilon _{2}+C_{13}\varepsilon _{3}+C_{14}\varepsilon _{4}+C_{15}\varepsilon _{5}+C_{16}\varepsilon _{6}+C_{14}\varepsilon _{4}+C_{15}\varepsilon _{5}+C_{16}\varepsilon _{6}$

$\sigma _{1}=C_{11}\varepsilon _{1}+C_{12}\varepsilon _{2}+C_{13}\varepsilon _{3}+C_{14}2\varepsilon _{4}+C_{15}2\varepsilon _{5}+C_{16}2\varepsilon _{6}$

其中 $\gamma _{4}=2\varepsilon _{4}$，$\gamma _{5}=2\varepsilon _{5}$ 以及 $\gamma _{6}=2\varepsilon _{6}$.

根据晶体对称性进行简化，我们可以为立方晶体写出

$C_{ij}^{CUBIC}=\left[{\begin{matrix}{\text{C}}_{11}&{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{12}&0&0&0\\{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{11}&{\text{C}}_{12}&0&0&0\\{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{12}&{\text{C}}_{11}&0&0&0\\0&0&0&{\text{C}}_{44}&0&0\\0&0&0&0&{\text{C}}_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\text{C}}_{44}\end{matrix}}\right]$           [17]

回到我们对应变能的定义（**公式 7**），我们可以用沃格特符号写出

$U_{o}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}\varepsilon _{i}$           [18]

我们可以将应力-应变关系（**公式 5**）写成

$\sigma _{j}=C_{jk}\varepsilon _{k}$           [19]

这使得我们可以写出

$U_{o}={\frac {1}{2}}C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}$           [20]

这是一个关于 $i$ 和 $j$ 的双重求和。将 $C_{ij}^{CUBIC}$ 从 **公式 17** 代入 **公式 20**，得到

$U_{o}^{CUBIC}={\frac {1}{2}}C_{11}(\varepsilon _{1}^{2}+\varepsilon _{2}^{2}+\varepsilon _{3}^{2})+2C_{44}(\varepsilon _{4}^{2}+\varepsilon _{5}^{2}+\varepsilon _{6}^{2})+C_{12}(\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}+\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}+\varepsilon _{3}\varepsilon _{1})$           [21]

以下是立方晶体的一些有用关系式，不作证明

$C_{11}={\frac {S_{11}+S_{12}}{(S_{11}-S_{12})(S_{11}+2S_{12})}}$           [22]

$C_{12}={\frac {-S_{12}}{(S_{11}-S_{12})(S_{11}+2S_{12})}}$           [23]

$C_{44}={\frac {1}{S_{44}}}$           [24]

${\frac {1}{E}}=S_{11}-2\left[(S_{11}-S_{12})-{\frac {1}{2}}S_{44}\right](l^{2}m^{2}+m^{2}n^{2}+l^{2}n^{2})$           [25]

这里 $l$，$m$ 和 $n$ 是从 $x_{1}$，$x_{2}$ 和 $x_{3}$ 的方向余弦，并且是施加单轴载荷的方向。将各向异性弹性性质映射到各向同性极限，我们有

$S_{11}={\frac {1}{E}}$           [26]

$S_{12}={\frac {-\nu }{E}}$           [27]

$S_{44}={\frac {1}{G}}$           [28]

然而，对于真正各向同性的介质，只需要 2 个材料参数。我们发现

$S_{44}=2(S_{11}-S_{12})$           [29]

以及

$C_{12}=\lambda$           [30]

$C_{11}=2G+\lambda$           [31]

$C_{44}={\frac {1}{2}}(C_{11}-C_{12})$           [32]

$A={\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}$           [33]

其中 $A$ 是齐纳各向异性比率（对于各向同性材料，$A=1$）。