材料弹性概述/示例问题

示例 1

问题陈述

给定弹性体上的一个点，其应力状态为${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$，确定主应力和原始方向与最大剪应力方向之间的夹角。使用解析方程和莫尔圆作图法解决此问题。应力以 MPa 为单位给出。

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}72&21&0\\21&32&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

解决方案

我们将通过两种方法解决此问题。首先使用解析解，然后使用莫尔圆。

解析解

我们有以下方程

${\begin{aligned}\sigma '_{11}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}}{2}}+{\frac {\sigma _{11}-\sigma _{22}}{2}}cos\left(2\theta \right)+\sigma _{12}sin\left(2\theta \right)\\\sigma '_{22}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}}{2}}-{\frac {\sigma _{11}-\sigma _{22}}{2}}cos\left(2\theta \right)-\sigma _{12}sin\left(2\theta \right)\end{aligned}}$

以及

${\begin{aligned}\sigma '_{12}={\frac {\sigma _{22}-\sigma _{11}}{2}}sin\left(2\theta \right)+\sigma _{12}cos\left(2\theta \right)\end{aligned}}$

其中主应力是在旋转参考系中。当 $\sigma '_{12}=0$ 时，系统处于其主方向，并且 $\sigma '_{11}=\sigma _{p1}$ 和 $\sigma '_{22}=\sigma _{p2}$。设定 $\sigma '_{12}=0$ 并求解得到

$tan\left(2\theta \right)={\frac {2\sigma _{12}}{\sigma _{22}-\sigma _{11}}}$

并将此题中给出的应力代入，我们发现 $\theta =23.2$°。将这个 $\theta$ 的值和给定的 ${\boldsymbol {\sigma }}$ 值代入，得到 $\sigma '_{11}=\sigma _{p1}=81$ MPa，$\sigma '_{22}=\sigma _{p2}=23$ MPa，以及 $\sigma '_{12}=0$ MPa，这验证了这确实是主轴。

如果我们给定的应力状态是主方向，那么在我们上面旋转的参考系中，${\boldsymbol {\sigma '}}$ 中的 $\sigma _{12}$ 项为零。我们通过对 $\sigma '_{12}$ 求导，将其设为零，并求解 $\theta$ 来找到最大剪切方向。

${\frac {d\sigma '_{12}}{d\theta }}={\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\sigma _{22}-\sigma _{11}}{2}}sin\left(2\theta \right)\right)=\left(\sigma _{22}-\sigma _{11}\right)cos\left(2\theta \right)$

最大值出现在 $\theta =45$° 时。这意味着最大值或最小值出现在 $23.2+45=68.2$°。将此值代入我们的方程以及 ${\boldsymbol {\sigma }}$ 可以得到 $\sigma '_{11}=\sigma _{p1}=52$ MPa，$\sigma '_{22}=\sigma _{p2}=52$ MPa 和 $\sigma '_{12}=-29$ MPa，也就是最小值。由于系统的对称性，再旋转 $90$° 会得到最大值，$\sigma '_{11}=\sigma _{p1}=52$ MPa，$\sigma '_{22}=\sigma _{p2}=52$ MPa 和 $\sigma '_{12}=29$ MPa。

莫尔圆解

该图展示了该示例问题的莫尔圆表示。

根据这里给出的图表，

$Radius=AB=BC={\sqrt {BD^{2}+CD^{2}}}$

以及

$tan\left(2\theta \right)={\frac {CD}{BD}}$

假设 $CD=21$，$OD=72$，以及$OE=32$，我们可以得出结论 $AD=40$ 以及 $EB=BD=20$。因此，$Radius=29$ 以及 $\theta =23.2$°。从主方向 $P1=OB+Radius=OE+EB+Radius=81$ MPa 以及 $P2=P1-2Radius=23$ MPa。最小和最大剪切应力是 $\pm Radius=\pm 29$ MPa，它们可以通过将系统旋转 $23.2+45=68.2$° 以及 $23.2+45+90=158.2=-21.8^{\circ }$ 来找到。

示例 2

问题陈述

假设弹性体上一点的应力状态为 ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$，确定主应力。应力单位为 MPa。 [提示：只有一种方法可以绘制莫尔圆图。利用这一点简化你的工作。你将会发现，一旦你画出图，几乎就不用进行任何计算了。]

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}0&6&8\\6&0&10\\8&10&0\end{pmatrix}}$

示例 3

问题陈述

假设弹性体上一点的应力状态为${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$，绕${\textstyle x_{3}}$轴旋转后得到应力状态${\textstyle {\boldsymbol {\sigma '}}}$，完全确定这两个应力状态和未知参数${\textstyle q}$。应力单位为 MPa。

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}25q&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&5q&0\\0&0&0\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {\sigma '}}={\begin{pmatrix}50&5&0\\5&\sigma '_{22}&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

解决方案

图示了该示例问题的莫尔圆表示法。阴影区域为相似三角形。

我们有以下方程

${\begin{aligned}\sigma '_{11}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}}{2}}+{\frac {\sigma _{11}-\sigma _{22}}{2}}cos\left(2\theta \right)+\sigma _{12}sin\left(2\theta \right)\\\sigma '_{22}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}}{2}}-{\frac {\sigma _{11}-\sigma _{22}}{2}}cos\left(2\theta \right)-\sigma _{12}sin\left(2\theta \right)\end{aligned}}$

以及

${\begin{aligned}\sigma '_{12}={\frac {\sigma _{22}-\sigma _{11}}{2}}sin\left(2\theta \right)+\sigma _{12}cos\left(2\theta \right)\end{aligned}}$

其中，带撇的应力表示在旋转后的参考系中。

利用以上关系，我们就可以代入$\sigma '_{12}$和$\theta$来求得$q=-1/2$。由此可得$\sigma _{11}=-12.5$ MPa 和$\sigma _{22}=-2.5$。不变关系

$\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}=I_{1}$

表明

$\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}=\sigma '_{11}+\sigma '_{22}+\sigma '_{33}$

通过代入确定$\sigma '_{22}=-65$ MPa。此时，除$\sigma _{12}$外，所有参数都已确定。只需将参数代入$\sigma '_{11}$ 或 $\sigma '_{22}$ 方程，即可求出$\sigma _{12}=57.5$ MPa。最终得到的应力张量（单位为 MPa）为：

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}-12.5&57.5&0\\57.5&-2.5&0\\0&0&0\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {\sigma '}}={\begin{pmatrix}50&5&0\\5&-65&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

该解的莫尔圆表示如图所示。注意，阴影三角形是相似的，因此如果需要图形求解，可以使用它们来简化解法。

示例 4

问题陈述

假设弹性体上一点的应力状态为${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$，确定主应力和原始方向与最大剪应力方向之间的夹角。应力单位为 MPa。

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}18&12&9\\12&12&-6\\9&-6&6\end{pmatrix}}$

示例 5

问题陈述

用数学和文字解释应用变换张量 ${\textstyle {\boldsymbol {T_{1}}}}$, ${\textstyle {\boldsymbol {T_{2}}}}$,${\textstyle {\boldsymbol {T_{3}}}}$, 和 ${\textstyle {\boldsymbol {T_{4}}}}$ 对向量 ${\textstyle {\boldsymbol {a}}}$ 的影响。将相同的变换应用于二阶张量 ${\textstyle {\boldsymbol {Z}}}$。

${\boldsymbol {T_{1}}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {T_{2}}}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {T_{3}}}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {T_{4}}}={\begin{pmatrix}cos\left(\theta \right)&0&sin\left(\theta \right)\\0&1&0\\-sin\left(\theta \right)&0&cos\left(\theta \right)\end{pmatrix}}$

${\boldsymbol {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{pmatrix}}$

解决方案

回顾张量乘法的定义和爱因斯坦求和约定，我们知道二阶张量 ${\boldsymbol {T}}$ 作用于向量 ${\boldsymbol {a}}$ 将会不可避免地产生类似于以下形式的项

$a'_{2}=a_{1}T_{11}+a_{2}T_{12}+a_{3}T_{13}$

这与你之前见过的“普通”矩阵乘法类似。相比之下，将二阶变换张量应用于二阶张量 ${\boldsymbol {Z}}$ 需要进行双重求和，这将产生类似于以下形式的项

$Z'_{12}=T_{11}T_{21}Z_{11}+T_{11}T_{22}Z_{12}+T_{11}T_{23}Z_{13}+T_{12}T_{21}Z_{21}+T_{12}T_{22}Z_{22}+T_{12}T_{23}Z_{23}+T_{13}T_{21}Z_{31}+T_{13}T_{22}Z_{32}+T_{13}T_{23}Z_{33}$

在处理这种包含 9 个项的求和时，通常建议使用软件包来简化工作。结果在此给出。

变换张量 1 的结果是

${\boldsymbol {a'}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {Z'}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{pmatrix}}$

这对应于恒等变换，即不修改张量。

变换张量 2 的结果是

${\boldsymbol {a'}}={\begin{pmatrix}-a_{1}\\-a_{2}\\-a_{3}\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {Z'}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{pmatrix}}$

这种变换是反演变换。这可以在向量的行为中看到。有趣的是，它使 ${\boldsymbol {Z}}$ 不变。

变换张量 3 的结果是

${\boldsymbol {a'}}={\begin{pmatrix}-a_{1}\\a_{2}\\-a_{3}\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {Z'}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&-Z_{12}&Z_{13}\\-Z_{21}&Z_{22}&-Z_{23}\\Z_{31}&-Z_{32}&Z_{33}\end{pmatrix}}$

此变换涉及围绕 $x_{1}$ 和 $x_{3}$ 方向进行镜像。这等效于绕 $x_{2}$ 轴旋转 $180$°。

变换张量 4 导致 $${\boldsymbol {a'}}={\begin{pmatrix}a_{1}cos\left(\theta \right)+a_{3}sin\left(\theta \right)\\a_{2}\\a3cos\left(\theta \right)-a_{1}sin\left(\theta \right)\end{pmatrix}}~{\boldsymbol {Z'}}={\begin{pmatrix}Z_{11}cos\left(\theta \right)^{2}+Z_{13}cos\left(\theta \right)sin\left(\theta \right)+Z_{31}cos\left(\theta \right)sin\left(\theta \right)+Z_{33}sin\left(\theta \right)^{2}&Z_{12}cos\left(\theta \right)+Z_{32}sin\left(\theta \right)&Z_{13}cos\left(\theta \right)^{2}-Z_{11}cos\left(\theta \right)sin\left(\theta \right)+Z_{33}cos\left(\theta \right)sin\left(\theta \right)-Z_{31}sin\left(\theta \right)^{2}\\Z_{21}cos\left(\theta \right)+Z_{23}sin\left(\theta \right)&Z_{22}&Z_{23}cos\left(\theta \right)-Z_{21}sin\left(\theta \right)\\Z_{31}cos\left(\theta \right)^{2}-Z_{11}cos\left(\theta \right)sin\left(\theta \right)+Z_{33}cos\left(\theta \right)sin\left(\theta \right)-Z_{13}sin\left(\theta \right)^{2}&Z_{32}cos\left(\theta \right)-Z_{12}sin\left(\theta \right)&Z_{33}cos\left(\theta \right)^{2}-Z_{13}cos\left(\theta \right)sin\left(\theta \right)-Z_{31}cos\left(\theta \right)sin\left(\theta \right)+Z_{11}sin\left(\theta \right)^{2}\end{pmatrix}}$$ 此变换涉及围绕 $x_{2}$-轴旋转。 将 $180$° 代入 $\theta$° 将产生与变换张量 3 相同的结果。

示例 6

问题陈述

考虑应力状态 ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$。 写出一个将参考系旋转到主方向的变换张量。 应力以 MPa 为单位给出。

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}72&21&0\\21&32&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

解决方案

我们从示例 1 中知道，解决方案是绕 $\theta =23.2$ 旋转 $x_{3}$ 轴，我们知道旋转变换矩阵的形式来自示例 5，因此解决方案是

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}cos\left(\theta \right)&sin\left(\theta \right)&0\\sin\left(\theta \right)&cos\left(\theta \right)&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

其中 $\theta =23.2$.

示例 7

问题陈述

给定位移张量 ${\textstyle {\boldsymbol {e}}}$，确定旋转张量和应变张量。

${\boldsymbol {e}}={\begin{pmatrix}0.001&0.001&0.002\\-0.001&0.002&0.002\\0.001&0.003&0.002\end{pmatrix}}$

解决方案

我们可以将任何张量分解为完全对称和完全反对称张量，得到反对称旋转张量

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0&{\frac {e_{12}-e_{21}}{2}}&{\frac {e_{13}-e_{31}}{2}}\\{\frac {e_{21}-e_{12}}{2}}&0&{\frac {e_{23}-e_{32}}{2}}\\{\frac {e_{31}-e_{13}}{2}}&{\frac {e_{32}-e_{23}}{2}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0.001&0.0005\\-0.001&0&-0.0005\\-0.0005&0.0005&0\end{pmatrix}}$

以及对称应变张量

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}e_{11}&{\frac {e_{12}+e_{21}}{2}}&{\frac {e_{13}+e_{31}}{2}}\\{\frac {e_{21}+e_{12}}{2}}&e_{22}&{\frac {e_{23}+e_{32}}{2}}\\{\frac {e_{31}+e_{13}}{2}}&{\frac {e_{32}+e_{23}}{2}}&e_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.001&0&0.0015\\0&0&0.0025\\0.0015&0.0025&0\end{pmatrix}}$

最终导致 ${\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}$.

示例 8

问题陈述

在线性、均匀、各向同性弹性理论中，对于给定的应力状态（单位为 MPa），确定给定泊松比为 0.40、剪切模量为 50 GPa 时的应变状态。确定静水压力、偏应力、应变膨胀和应变偏量。

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}10&2&2\\2&5&-3\\2&-3&-5\end{pmatrix}}$

解决方案

我们已经知道应力，所以要得到解，需要确定应变，可以通过以下公式确定

$\varepsilon _{ij}={\frac {1+\nu }{E}}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{kk}\delta _{ij}$

我们已经知道泊松比 $\nu$ 和剪切模量 $G$，但要使用此公式，我们需要弹性模量 $E$。可以通过以下公式求得

$G={\frac {E}{2\left(1-\nu \right)}}$

可以转换为

$E=2G\left(1-\nu \right)$

代入后得到 $E=60$ GPa。得到的应变张量为

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}{\frac {1+\nu }{E}}\sigma _{11}-{\frac {\nu }{E}}\left(\sigma _{22}+\sigma _{33}\right)&{\frac {\sigma _{12}}{2G}}&{\frac {\sigma _{13}}{2G}}\\{\frac {\sigma _{21}}{2G}}&{\frac {1+\nu }{E}}\sigma _{22}-{\frac {\nu }{E}}\left(\sigma _{11}+\sigma _{33}\right)&{\frac {\sigma _{23}}{2G}}\\{\frac {\sigma _{31}}{2G}}&{\frac {\sigma _{32}}{2G}}&{\frac {1+\nu }{E}}\sigma _{33}-{\frac {\nu }{E}}\left(\sigma _{11}+\sigma _{22}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.1667&0.0467&0.0467\\0.0467&0.0500&-0.0700\\0.0467&-0.0700&-0.1833\end{pmatrix}}.$

静水压力为

$\sigma _{m}={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {10+5-5}{3}}=3.33{\text{ GPa}}$

应变膨胀为

$\Delta =\left(1+\varepsilon _{11}\right)\left(1+\varepsilon _{22}\right)\left(1+\varepsilon _{33}\right)-1=\left(1+0.1667\right)\left(1+0.0500\right)\left(1+0.1833\right)-1=0.4496$

得到平均应变为

$\varepsilon _{m}={\frac {\Delta }{3}}={\frac {0.4496}{3}}=0.1499$

(注意，当应变较小时 $\Delta \approx \varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}=0.400$，这将导致 $\varepsilon _{m}\approx 0.1333$。不幸的是，在这个例子中，应变相对较大。) 然后通过从其各自的张量对角线中减去平均应力和应变来确定偏应力和应变。

${\boldsymbol {\sigma '}}={\begin{pmatrix}10-3.33&2&2\\2&5-3.33&-3\\2&-3&-5-3.33\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6.67&2&2\\2&1.67&-3\\2&-3&-8.33\end{pmatrix}}$

以及

${\boldsymbol {\varepsilon '}}={\begin{pmatrix}0.1667-0.1499&0.0467&0.0467\\0.0467&0.0500-0.1499&-0.0700\\0.0467&-0.0700&-0.1833-0.1499\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.0168&0.0467&0.0467\\0.0467&0.0999&-0.0700\\0.0467&-0.0700&-0.3332\end{pmatrix}}$

例 9

问题陈述

在線性、均勻、各向同性彈性理論中，給定應變狀態，確定給定 100 GPa 的體積模量和 Lam${\acute {e}}$ 參數為 50 GPa 的應力狀態。找出靜水壓應力、偏應力、應變膨脹和應變偏量。

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}0.002&0.002&0.001\\0.002&0.002&0.001\\0.001&0.001&-0.001\end{pmatrix}}$

解决方案

我们已知应变，因此需要找出应力来得到解。应力可通过以下公式计算

$\sigma _{ij}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{ij}-{\frac {\nu E}{\left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}$

其中 ${\frac {\nu E}{\left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)}}$ 是拉梅参数 $\lambda$。由于

$G={\frac {E}{2\left(1+\nu \right)}}$

以及

$G={\frac {3\left(K-\lambda \right)}{2}}$

我们知道

${\frac {E}{\left(1+\nu \right)}}=3\left(K-\lambda \right)$

应力表达式变为

$\sigma _{ij}=3\left(K-\lambda \right)\varepsilon _{ij}+\lambda \varepsilon _{kk}\delta _{ij}$

代入求解得出

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}0.45&0.3&0.15\\0.3&0.45&0.15\\0.15&0.15&0.0\end{pmatrix}}$GPa

静水压力为

$\sigma _{m}={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {0.45+0.45+0.0}{3}}=0.30{\text{ GPa}}$

应变膨胀为

$\Delta =\left(1+\varepsilon _{11}\right)\left(1+\varepsilon _{22}\right)\left(1+\varepsilon _{33}\right)-1=\left(1+0.002\right)\left(1+0.002\right)\left(1-0.001\right)-1=0.003$

得到平均应变为

$\varepsilon _{m}={\frac {\Delta }{3}}={\frac {0.003}{3}}=0.001$

一个有趣的观察结果是，应变膨胀和静水（平均）应力与体积模量有关 $\sigma _{m}=K\Delta$，在本例中为 $0.3=100\times 0.003$。在进行计算时，使用已知检查点（如这些检查点）来验证您的工作非常重要。

然后通过从各自张量的对角线上减去平均应力和应变来确定偏应力和应变。

${\boldsymbol {\sigma '}}={\begin{pmatrix}0.45-0.30&0.30&0.15\\0.30&0.45-0.30&0.15\\0.15&0.15&0.00-0.30\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.15&0.30&0.15\\0.30&0.15&0.15\\0.15&0.15&-0.30\end{pmatrix}}$

以及

${\boldsymbol {\varepsilon '}}={\begin{pmatrix}0.002-0.001&0.002&0.001\\0.002&0.002-0.001&0.001\\0.001&0.001&-0.001-0.001\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.001&0.002&0.001\\0.002&0.001&0.001\\0.001&0.001&-0.002\end{pmatrix}}$

示例 10

问题陈述

对于一个立方氧化锆单晶，其弹性常数约为 $c_{11}=575$，$c_{12}=115$ 和 $c_{44}=75$ GPa，确定在 $\left[100\right]$ 方向上施加 0.001 的单轴应变所需的弹性能量。确定在 $\left[110\right]$ 方向上施加 0.001 的单轴应变所需的弹性能量。计算齐纳各向异性比。使用各向同性弹性理论，弹性模量为 200 GPa，泊松比为 0.3，计算施加 0.001 的单轴应变所需的弹性能量。

解决方案

假设 $\left[100\right]$ 在 $x_{1}$ 方向上。弹性能量，$U_{o}$，是

$U_{o}={\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}$

所以

$dU_{o}={\frac {1}{2}}\sigma _{ij}d\varepsilon _{ij}$

在各向异性弹性理论的情况下

$\sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}.$

在这种情况下，所有 $\varepsilon _{ij}=0$ 除 $\varepsilon _{11}=0.001$。因此，所有 $\sigma _{ij}=0$ 除 $\sigma _{11}=c_{1111}\varepsilon _{11}$，$\sigma _{22}=c_{1122}\varepsilon _{22}$，以及 $\sigma _{33}=c_{1122}\varepsilon _{33}$。

代入上述方程：

${\begin{aligned}dU_{0}&=\varepsilon _{11}c_{1111}d\varepsilon _{11}+\underbrace {\varepsilon _{11}c_{1122}\ d\varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}c_{1122}\ d\varepsilon _{33}} _{=\ 0\ upon\ integration}\\&=\varepsilon _{11}c_{1111}d\varepsilon _{11}\\\\U_{0}&=\int _{0}^{\varepsilon _{11}\ =\ 0.001}\varepsilon _{11}c_{11}d\varepsilon _{11}\\&=\left.c_{11}{\varepsilon _{11}^{2} \over 2}\ \right|_{0}^{0.001}\\&=(575*10^{9}\ Pa){0.001^{2} \over 2}\\&=288\ kJ\end{aligned}}$

例 11

问题陈述

对于立方氧化锆单晶，其弹性常数约为 $c_{11}=575$, $c_{12}=115$ 以及 $c_{44}=75$ GPa，确定在 $\left[100\right]$ 方向上施加 0.001 的单轴应变，然后在 $\left(001\right)$ 面上沿 $\left[010\right]$ 方向施加 0.001 的剪切应变所需的弹性能量。

解决方案

按照给定的操作顺序，首先我们在 $[100]$ 方向上施加 $0.001$ 的单轴载荷。（也在示例 10 中涵盖）

请注意，我们的通用方程式是 ${\textstyle dU=\sigma _{ij}\ d\varepsilon _{ij}}$，以及 ${\textstyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$。

重新说明应变张量：

$\varepsilon =\left({\begin{matrix}\varepsilon _{11}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right)$

由此我们得到非零应力张量：

$\sigma =\left({\begin{matrix}\varepsilon _{11}c_{11}&0&0\\0&\varepsilon _{11}c_{12}&0\\0&0&\varepsilon _{11}c_{12}\end{matrix}}\right)$

因此，唯一非零的 $d\varepsilon _{ij}$ 是 $d\varepsilon _{11}$，通过对我们 ${\textstyle dU}$ 公式的积分，我们得到：$U_{1}=288\ kJ$

现在，让我们在 $(100)$ 面上施加 $0.001$ 的剪切力，在 $[010]$ 方向上。

我们的新应力张量是：

$\sigma =\left({\begin{matrix}\varepsilon _{11}c_{11}&\varepsilon _{12}c_{44}&0\\\varepsilon _{12}c_{44}&\varepsilon _{11}c_{12}&0\\0&0&\varepsilon _{11}c_{12}\end{matrix}}\right)$

这里，唯一非零的项是 $d\varepsilon _{12}$ 和 $d\varepsilon _{21}$。由于对称性，这两个项是等效的，我们可以求解其中一个并将其答案乘以 2。

再次利用我们的基本能量方程，我们得到：

${\begin{aligned}dU&=\sigma _{ij}\ d\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{12}c_{44}\ d\varepsilon _{12}\\\\U_{2}&=2\int _{0}^{\varepsilon _{12}}\varepsilon _{12}c_{44}\ d\varepsilon _{12}\\&=2\left[c_{44}{\varepsilon _{12}^{2} \over 2}\right]_{0}^{\varepsilon _{12}}\\&=(75*10^{9}\ Pa)0.001^{2}\\U_{2}&=75\ kJ\end{aligned}}$

最后，将 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 相加得到该组合变换的总能量，最终答案为 $363\ kJ$。

示例 12

问题陈述

对于立方氧化锆的多晶体试样，其弹性常数近似为 $c_{11}=575$，$c_{12}=115$，和 $c_{44}=75$ GPa，使用各向同性弹性理论以及 $200\ GPa$ 的弹性模量和 $0.3$ 的泊松比来计算施加应变状态的弹性能量。

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}0.001&0.001&0.000\\0.001&0.000&0.000\\0.000&0.000&0.000\end{pmatrix}}$

如果多晶体材料的孔隙率约为 2%，这将使弹性模量发生多少变化？这将使施加应变的弹性能量发生多少变化？

解决方案

请注意，我们的通用方程式是 ${\textstyle dU=\sigma _{ij}\ d\varepsilon _{ij}}$，以及 ${\textstyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$。

这里，我们可以用弹性模量和泊松比来表示应力：

$\sigma _{ij}={E \over 1+\nu }\varepsilon _{ij}+{\nu E \over (1+\nu )(1-2\nu )}\varepsilon _{kk}\partial _{ij}$

其中后一个常数等效于拉梅常数 ($\lambda$)：

$\lambda ={\nu E \over (1+\nu )(1-2\nu )}$

简要解算拉梅常数，我们得到：

考虑到由于对称性，$\varepsilon _{12}$ 等于 $\varepsilon _{21}$，该问题的非零应力为：

$\sigma =\left({\begin{matrix}{E \over 1+\nu }\varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{11}&{E \over 1+\nu }\varepsilon _{12}&0\\{E \over 1+\nu }\varepsilon _{12}&\lambda \varepsilon _{11}&0\\0&0&\lambda \varepsilon _{11}\end{matrix}}\right)$

因此，我们可以写出非零能量项为：

${\begin{aligned}dU&=\sigma _{ij}\ d\varepsilon _{ij}\\&=\left({E \over 1+\nu }+\lambda \right)\varepsilon _{11}\operatorname {d} \!\varepsilon _{11}+\left({E \over 1+\nu }+\lambda \right)\varepsilon _{12}\operatorname {d} \!\varepsilon _{12}+\left({E \over 1+\nu }+\lambda \right)\varepsilon _{21}\operatorname {d} \!\varepsilon _{21}+\lambda \varepsilon _{11}\operatorname {d} \varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{11}\operatorname {d} \varepsilon _{11}\\&=\left({E \over 1+\nu }+\lambda \right)\varepsilon _{11}\operatorname {d} \!\varepsilon _{11}+2\left({E \over 1+\nu }+\lambda \right)\varepsilon _{12}\operatorname {d} \!\varepsilon _{12}\\\\U&=\left.\left({E \over 1+\nu }+\lambda \right){1 \over 2}\varepsilon _{11}^{2}\right|_{0}^{\varepsilon _{11}}+\left.\left({E \over 1+\nu }\right)\varepsilon _{12}^{2}\right|_{0}^{\varepsilon _{12}}\\&=288\ kJ\end{aligned}}$