材料弹性概述/应变介绍

本节介绍应变，并展示应变张量的张量对称性。我们还将讨论应力和应变的特殊子集，包括膨胀和偏应力与应变。

平均应变

图1：a) 线性伸长，其中$e={\frac {L'-L}{L}}$ b) 剪切变形，其中$\gamma =\tan \theta$.

在本节中，我们将重新审视应变，将其考虑在无穷小极限中，并使用张量表示法来研究其与位移的关系。当我们开始讨论时，我们考察了平均应变，即线性伸长（图1a）和剪切变形（图1b）方面的工程应变。

无穷小应变

虽然平均应变通常查看一个体积的应变，但我们现在将考虑弹性体上一个点的移动方式以及附近点的移动方式。

图2：一个点上的二维应变，其中$P$ 和 $Q$ 彼此无限接近，而 $P'$ 和 $Q'$ 分别是位移。

我们将从二维开始。假设弹性体上有一个点（$P$），位于坐标 $\{x_{1},\ x_{2}\}$，如图2所示（当我们想要使用张量时，这种表示法将更方便）。如果我们使物体变形，那么 $P$ 会被移动到 $P'$，其坐标为 $\{x_{1}+u_{1},\ x_{2}+u_{2}\}$。我们称 $\mathbf {u}$ 为位移向量。

观察图 2，在无限接近于$P$的点上，被称为$Q$，坐标为$\{x_{1}+dx_{1},\ x_{2}+dx_{2}\}$。当$P$被变形位移到$P'$时，$Q$也同样被位移到$Q'$，坐标为$\{x_{1}+u_{1}+dx_{1},\ x_{2}+u_{2}+dx_{2}\}$。仔细思考，物体上所经历的位移取决于物体上的位置。因此$\mathbf {u} =u(x_{1},\ x_{2})$。这使得我们可以使用链式法则来表示无穷小位移。现在定义以下术语

${\begin{aligned}\operatorname {d} \!u_{1}&={\partial u_{1} \over \partial x_{1}}\operatorname {d} \!x_{1}+{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}\operatorname {d} \!x_{2}\end{aligned}}$           [3]

${\begin{aligned}\\\operatorname {d} \!u_{2}&={\partial u_{2} \over \partial x_{1}}\operatorname {d} \!x_{1}+{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}\operatorname {d} \!x_{2}\end{aligned}}$           [4]

${\begin{matrix}e_{11}&={\partial u_{1} \over \partial x_{1}}\qquad e_{12}&={\partial u_{1} \over \partial x_{2}}\\e_{21}&={\partial u_{2} \over \partial x_{1}}\qquad e_{22}&={\partial u_{2} \over \partial x_{2}}\end{matrix}}$           [5-8]

这使我们能够使用爱因斯坦记号来表示无穷小位移。

${\begin{aligned}du_{i}=e_{ij}\ dx_{j}\end{aligned}}$           [9]

位移张量

图 3：变形后的位移张量 $P$ 和 $Q$。

这在物理上有什么意义？从特殊方向看更容易理解。考虑点 $P=\{x_{1},\ x_{2}\}$， $Q_{1}=\{x_{1}+dx_{1},\ x_{2}\}$ 其中 $dx_{2}=0$ 和 $Q_{2}=\{x_{1},\ x_{2}+dx\}$ 其中 $dx_{1}=0$，如图 3 所示。然后在变形后

${\begin{aligned}P'&=\{x_{1}+u_{1},\ x_{2}+u_{2}\}\\{Q_{1}}'&=\{x_{1}+u_{1}+dx_{1}+du_{1},\ x_{2}+u_{2}+du_{2}\}\\{Q_{2}}'&=\{x_{1}+u_{1}+du_{1},\ x_{2}+u_{2}+dx_{2}+du_{2}\}\end{aligned}}$

如何理解这个公式？在 $Q_{1}$ 的情况下，我们有 $\operatorname {d} \!x_{2}=0$。因此，根据 **公式 3 & 5** 和 **公式 4 & 7** 表达的无穷小位移，我们可以推断出 $\operatorname {d} \!u_{1}=e_{11}\operatorname {d} \!x_{1}$，以及 $\operatorname {d} \!u_{2}=e_{21}\operatorname {d} \!x_{1}$。

这告诉我们 $e_{11}$ 是 $x_{1}$ 方向上的单轴拉伸，而 $e_{21}$ 是 $Q_{1}$ 绕点 $P$ 的旋转。类似地，在 $Q_{2}$ 的情况下，我们可以再次将 **公式 3** 与 **公式 6** 以及 **公式 4** 与 **公式 8** 组合，得到 $\operatorname {d} \!u_{1}=e_{12}\ \operatorname {d} \!x_{2}$ 和 $\operatorname {d} \!u_{2}=e_{22}\ \operatorname {d} \!x_{2}$。因此，$e_{22}$ 是 $x_{2}$ 方向上的单轴拉伸，而 $e_{12}$ 是 $Q_{2}$ 绕点 $P$ 的旋转。这些 $\mathbf {e}$ 是我们的位移张量。

应变张量

让我们回到 $P$，它被移动到 $P'$。$x_{i}$ 和 ${x_{i}}'$ 之间有什么关系？

${x_{1}}'=x_{1}+u_{1}$           [10]

根据 **公式 3，5-8**

${\begin{aligned}\operatorname {d} \!u_{1}&=e_{11}\operatorname {d} \!x_{1}+e_{12}\operatorname {d} \!x_{2}\end{aligned}}$           [11]

对上述公式进行积分，得到：

${\begin{aligned}\int _{0}^{u_{1}}\operatorname {d} \!u_{1}&=e_{11}\int _{0}^{x_{1}}\operatorname {d} \!x_{1}+e_{12}\int _{0}^{x_{2}}\operatorname {d} \!x_{2}\\u_{1}&=e_{11}x_{1}+e_{12}x_{2}\\{x_{1}}'&=x_{1}+e_{11}x_{1}+e_{12}x_{2}\end{aligned}}$

上述公式可以改写为：

${\begin{aligned}{x_{1}}'&=\left(1+e_{11}\right)x_{1}+e_{12}x_{2}\end{aligned}}$           [12]

图 4： 位移张量 $(\mathbf {e} )$ 的可视化表示。在这里，位移张量 $(\mathbf {e} )$ 被分解成应变张量 $({\boldsymbol {\varepsilon }})$ 和旋转张量 $({\boldsymbol {\omega }})$.

以类似的方式，我们也可以证明：

${\begin{aligned}{x_{2}}'=e_{21}x_{1}+(1+e_{22})x_{2}\end{aligned}}$           [13]

观察我们的张量，我们可以看到我们的变形也包含平移和旋转。我们对此不感兴趣，因为它们不会告诉我们关于材料响应的信息，例如膨胀（体积变化）或扭曲（形状变化）。平移和旋转是力学领域中称为动力学的一部分。在这里，我们感兴趣的是小尺度弹性变形。我们的 $e_{12}\neq e_{21}$，但我们知道我们的应力张量是对称的，因为 $\sigma _{12}=\sigma _{21}$。因此，我们可以将位移张量重写为对称张量和反对称张量的组合。

$\underbrace {\left({\begin{matrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end{matrix}}\right)} _{\mathbf {e} }=\underbrace {\left({\begin{matrix}e_{11}&{1 \over 2}(e_{12}+e_{21})\\{1 \over 2}(e_{21}+e_{12})&e_{22}\end{matrix}}\right)} _{\boldsymbol {\varepsilon }}+\underbrace {\left({\begin{matrix}0&{1 \over 2}(e_{12}+e_{21})\\{1 \over 2}(e_{21}+e_{12})&0\end{matrix}}\right)} _{\boldsymbol {\omega }}$           [14]

这里，${\boldsymbol {\varepsilon }}$ 是应变张量，${\boldsymbol {\omega }}$ 是旋转张量。这可以在图 4 中示意性地看到。在本文本的范围内，我们只对 ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ 感兴趣，但通常仍然值得记住位移包含剪切和旋转成分。

${\begin{aligned}u_{i}=\varepsilon _{ij}x_{j}+\omega _{ij}x_{j}\end{aligned}}$           [15]

如果变形是无旋的，或者换句话说，应变主轴的方向不会因位移而改变，那么 $w_{ij}=0$ 并且

$u_{i}=\varepsilon _{ij}x_{j}$           [16]

应变张量将点处的无旋位移映射到一个假想的平面，该平面的法线方向穿过该点。由于应变张量 $({\boldsymbol {\varepsilon }})$ 是一个张量，它必须以与应力张量在本文前面部分中相同的方式进行转换。作为提醒

${\begin{aligned}{\sigma _{kl}}'&=a_{ki}\ a_{\ell j}\ \sigma _{ij}\end{aligned}}$           [17]

${\begin{aligned}{\varepsilon _{k\ell }}'&=a_{ki}\ a_{\ell j}\ \varepsilon _{ij}\end{aligned}}$           [18]

平均工程应变

请注意，当我们第一次开始研究这个主题时，我们将剪切应变定义为$\gamma =\tan \theta$，这是不对称的。就我们的应变张量而言，这将是$\gamma _{ij}=2\varepsilon _{ij}$。（它必须旋转回来，以便每边都有一个角度${\textstyle {1 \over 2}\theta }$。）您可能会经常看到一个矩阵写成

$\left({\begin{matrix}\varepsilon _{x}&\gamma _{xy}\\\gamma _{yx}&\varepsilon _{y}\end{matrix}}\right)$

有时以这种方式编写它很有用。但是，它不是张量，因为它不像公式 17 和 18那样变换，因为它是反对称的。教科书通常喜欢使用这种“平均工程应变”${\textstyle (\gamma _{ij})}$，但我们在这里除非绝对必要，否则不会使用它。

将 2D 推广到 3D

我们在 2D 应变张量中找到的结果可以很容易地推广到 3D，方法是在爱因斯坦记号中写下它们，并在隐式求和中使用“3”代替“2”。公式 3 和 4是

$\operatorname {d} \!u_{j}={\partial u_{j} \over \partial x_{i}}\operatorname {d} \!x_{i}$           [19]

它在 3D 中表示 3 个方程$j=1,\ 2,\ 3$，并扩展为

$\operatorname {d} \!u_{j}={\partial u_{j} \over \partial x_{1}}\operatorname {d} \!{x_{1}}+{\partial u_{j} \over \partial x_{2}}\operatorname {d} \!{x_{2}}+{\partial u_{j} \over \partial x_{3}}\operatorname {d} \!{x_{3}}$

位移张量是

$e_{ij}={\partial u_{i} \over \partial x_{j}}$           [20]

应变张量是

$\varepsilon _{ij}={1 \over 2}\left(e_{ij}+e_{ji}\right)$           [21]

旋转张量是

$\omega _{ij}={1 \over 2}\left(e_{ij}-e_{ji}\right)$           [22]

这给了我们位移

$u_{i}=\varepsilon _{ij}x_{j}+\omega _{ij}x_{j}=e_{ij}x_{j}$           [23]

新的位移坐标是

$x_{j}'=x_{j}+u_{j}$           [24]

现在我们已经得到了一个具有类似于应力的性质的对称应变张量，我们可以使用与分析应力时类似的方法来检查其他性质。对于小应变，其中 $\Delta \approx \varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}=I_{1}$，我们将平均应变定义为

${\begin{aligned}{\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33} \over 3}={\varepsilon _{kk} \over 3}=\varepsilon _{m}\end{aligned}}$

因此，

$\varepsilon _{m}\approx {\Delta \over 3}$           [25]

总应变张量可以分解为膨胀和偏应力分量

$\varepsilon _{ij}={\varepsilon _{ij}}'+\varepsilon _{m}=\left(\varepsilon _{ij}-{\Delta \over 3}\delta _{ij}\right)+{\Delta \over 3}\delta _{ij}$           [26]

以类似的方式，我们还有偏应力和静水应力，它们类似于偏应变和膨胀应变。 静水应力或平均应力是

$\sigma _{m}={\sigma _{kk} \over 3}={\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33} \over 3}$           [27]

因此，偏应力可以推导出，因为

${\begin{aligned}\sigma _{ij}&={\sigma _{ij}}'+{1 \over 3}\delta _{ij}\sigma _{kk}\\{\sigma _{ij}}'&={\sigma _{ij}}+\sigma _{m}\delta _{ij}\\\\{\sigma _{ij}}'&=\left({\begin{matrix}\sigma _{11}-\sigma _{m}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}-\sigma _{m}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}-\sigma _{m}\end{matrix}}\right)\end{aligned}}$           [28-31]

${\sigma _{ij}}'$ 的主分量分解为

${\sigma _{1}}'={2 \over 3}\left({\sigma _{1}-\sigma _{2} \over 2}+{\sigma _{1}-\sigma _{3} \over 2}\right)$           [32]

并且我们知道它们只是最大剪切应力

${\sigma _{1}}'={2 \over 3}\left({\sigma _{12}}^{MAX}+{\sigma _{13}}^{MAX}\right)$           [33]

请记住，我们从以下公式中得到这个结果

$0=\left(\sigma '\right)^{3}-J_{1}\left(\sigma '\right)^{2}-J_{2}\sigma '-J_{3}$           [34]

其中

${\begin{aligned}J_{1}&=(\sigma _{11}-\sigma _{m})+(\sigma _{22}-\sigma _{m})+(\sigma _{33}-\sigma _{m})\\J_{2}&={1 \over 6}\left[\left(\sigma _{11}-\sigma _{22}\right)^{2}+\left(\sigma _{22}-\sigma _{33}\right)^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11}\right)^{2}+6\left(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)\right]\\J_{3}&=\det |{\boldsymbol {\sigma }}'|\end{aligned}}$           [35-38]