材料弹性概述/张量导论

张量导论

我们一直在研究应力，特别是研究一点处的应力以及旋转参考系的影响。使用之前各节中的工具，可以识别主应力和参考系相对于主轴的方向，从而确定任何方向上的应力状态。这还允许确定最大剪切力和法向力的方向和值，这对工程设计至关重要。如您所见，计算这些信息需要大量使用方程或几何/三角学。在本节中，将介绍张量，它为解决协调转换提供了更优雅的方法。

我们将从思考向量开始，例如

$\mathbf {S} =\left\langle S_{1},S_{2},S_{3}\right\rangle$

该向量使用 $x_{i}$ 坐标表示，但也可以相对于另一组坐标表示，我们将其称为 $x'_{i}$。方向余弦，即两个坐标系所有轴之间的余弦，允许我们重写向量

$S'_{1}=S_{1}\cos \left(x_{1},x'_{1}\right)+S_{2}\cos \left(x_{2},x'_{1}\right)+S_{3}\cos \left(x_{3},x'_{1}\right)$

其中 ${\textstyle \cos \left(x_{i},x'_{j}\right)}$ 是 $x_{i}$ 和 $x'_{j}$ 之间的余弦，可以改写为 ${\textstyle a_{ji}=\cos \left(x_{i},x'_{j}\right)}$，它允许：

${\begin{aligned}S'_{1}=a_{11}S_{1}+a_{12}S_{2}+a_{13}S_{3}\end{aligned}}$           [1]

${\begin{aligned}S'_{2}=a_{21}S_{1}+a_{22}S_{2}+a_{23}S_{3}\end{aligned}}$           [2]

${\begin{aligned}S'_{3}=a_{31}S_{1}+a_{32}S_{2}+a_{33}S_{3}\end{aligned}}$           [3]

注意到对于角度的余弦，$a_{ji}=a_{ij}$. 公式 1-3 可以用一种紧凑的形式写成，称为爱因斯坦记号

$S'_{i}=a_{ij}S_{j}$           [4]

在爱因斯坦记号中，如果一个下标在一个等式的一侧出现两次或更多次，就会进行求和。在上面的例子中，$j$ 在等式的右侧出现了两次，但 $i$ 只出现了一次。这意味着这个等式变成了

$S'_{i}=a_{ij}S_{j}=\sum _{j=1}^{3}a_{ij}S_{j}=a_{i1}S_{1}+a_{i2}S_{2}+a_{i3}S_{3}$

在这个等式中，$i$ 是一个哑变量；将值 1、2 或 3 代入 $i$ 将返回上面的等式。

这里，$\mathbf {a}$ 是一个将两个向量 $\mathbf {S}$ 和 $\mathbf {S'}$ 联系起来的二阶张量。张量是描述标量、向量和其他张量之间线性关系的几何对象。张量的阶数是指描述它所需的索引或方向的数量，它直接对应于相应数组的维度。因此，$\mathbf {a}$ 是一个二阶张量，因为它需要 $i$ 和 $j$ ($a_{ij}$) 来描述它，因此它由一个二维数组定义。其他文本可能会将阶数称为维度或阶，因为这些术语可以互换使用。下面的表格可能有助于理解阶数的概念。

名称	张量的阶数/维度/阶	示例
标量	零	$$(11)$$
向量	一	$\left({\begin{matrix}{25}&{32}&{11}\end{matrix}}\right)$ 或 $\left({\begin{matrix}{25}\\{32}\\{11}\end{matrix}}\right)$
矩阵	二	$$\left({\begin{matrix}{25}&{32}&{11}\\{14}&{56}&{4}\\{79}&{42}&{51}\end{matrix}}\right)$$

向量 $\mathbf {S}$ 和 $\mathbf {S'}$ 是张量吗？虽然向量可以是张量，但在这种情况下它们不是，因为 $\mathbf {S}$ 和 $\mathbf {S'}$ 不会将线性空间映射到彼此。

张量常用于表示材料的内在物理性质。一个很好的例子是电导率，${\boldsymbol {\phi }}$，它是一个二阶张量，表示材料中的电流密度，$\mathbf {J}$，由施加的电场，$\mathbf {E}$，引起。

$\mathbf {J} =\mathbf {\phi } \mathbf {E}$

$\mathbf {J}$ 和 $\mathbf {E}$ 都是矢量，因为它们既有大小也有方向。有趣的是，$\mathbf {J}$ 中的非轴项意味着矢量之间的交叉相互作用，例如，在 $x_{1}$ 方向上的电流响应受 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 方向上的电场的影响，这确实是正确的。

还有许多其他张量代表材料特性，包括热导率、扩散率、介电常数、介电极化率、磁导率和磁化率，仅举几例。我们将会看到，应力和应变也是张量。应力将任意假想表面的表面法线，$\mathbf {n}$，与该点处的应力矢量，$\mathbf {S}$，相关联，正如前一节所讨论的。

张量变换

表示材料性质的矢量也必须能够变换。这对坐标变换很有用，坐标变换本质上是旋转。它还允许表示材料响应的张量根据晶体学对称性进行变换。这些可以包括旋转、镜像操作和反演。由于这些变换涉及线性的单射映射，变换本身是由变换张量实现的。

在公式4中，我们通过应用变换张量 $\mathbf {a}$ 将矢量 $\mathbf {S}$ 旋转到 $\mathbf {S'}$。

$S'_{i}=a_{ij}S_{j}$

如果我们想要反转这个呢？我们可以简单地反转方程

$S_{i}=a_{ji}S'_{i}$           [5]

注意这里关于 $\mathbf {a}$ 的逆的隐含意义。因为

$a_{ji}S'_{i}=a_{ji}a_{ij}S_{j}=S_{j}$

我们有 $a_{ji}a_{ij}=I$，这意味着 $\mathbf {a}$ 的转置产生了 $\mathbf {a}$ 的逆，写作 $\mathbf {a^{-1}} =\mathbf {a^{T}}$.

现在考虑存在一个第二个向量，我们称之为 $\mathbf {Q}$，它通过二阶材料属性张量 $\mathbf {T}$ 与 $\mathbf {S}$ 相关联

$\mathbf {S} _{i}=\mathbf {T} _{ij}\mathbf {Q} _{j}$            [6]

在变换后的坐标系中，我们可以将此表示为

${\mathbf {S} _{i}}'={\mathbf {T} _{ij}}'{\mathbf {Q} _{j}}'$           [7]

所以我们现在可以写

${\begin{aligned}{\mathbf {S} _{i}}'&={\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {S} _{j}}\\&={\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {T} _{jk}}{\mathbf {Q} _{k}}\\&=\underbrace {{\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {T} _{jk}}{\mathbf {a} _{lk}}} _{\mathbf {T} _{i\ell }}{\mathbf {Q} _{\ell }}'\end{aligned}}$

这告诉我们，将 $x_{j}$ 转换为 $x_{j}'$ 会导致从 $\mathbf {S}$ 到 $\mathbf {S} '$、$\mathbf {Q}$ 到 $\mathbf {Q} '$，以及 $\mathbf {T}$ 到 $\mathbf {T} '$ 的变换，其中向量变换由公式 4 & 5给出，张量变换由下式给出：

${\mathbf {T} _{i\ell }}'={\mathbf {T} _{ij}}{\mathbf {T} _{jk}}{\mathbf {a} _{\ell k}}$           [8]

以及

${\mathbf {T} _{i\ell }}={\mathbf {a} _{ji}}{\mathbf {T} _{jk}}'{\mathbf {a} _{k\ell }}$           [9]

注意，这些解实际上是对 $j$ 和 $k$ 的双重求和，这是由于爱因斯坦求和约定。

由于求和顺序不重要，我们可以写成：

${\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {T} _{jk}}{\mathbf {a} _{\ell k}}={\mathbf {a} _{ij}}{\mathbf {a} _{\ell k}}{\mathbf {T} _{jk}}$           [10]

这是一个张量，它将 $\mathbf {T}$ 和 $\mathbf {T} '$ 联系起来。由于它是一个双重求和，所以 $\mathbf {T}$ 中的每一项都有九个元素，而将 $\mathbf {T}$ 和 $\mathbf {T} '$ 之间关系的总张量必须有 $81$ 项，因为 $(9\times 9=81)$.

张量对称性

张量的性质由其应用决定。我们可以根据它们的对称性对张量进行分类。

对称张量具有如下结构：$\left[{\begin{matrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\beta _{2}\\\beta _{1}&\alpha _{2}&\beta _{3}\\\beta _{2}&\beta _{3}&\alpha _{3}\end{matrix}}\right]$，其中 $\mathbf {T} _{ij}=\mathbf {T} _{ij}$

反对称张量具有如下结构：$\left[{\begin{matrix}0&-\alpha &-\gamma \\\alpha &0&\beta \\\gamma &\beta &0\end{matrix}}\right]$，其中 $\mathbf {T} _{ij}=-\mathbf {T} _{ij}$

请注意，反对称张量的对角线必须为零，而整体对称性或反对称性取决于所选择的参考系。任何二阶张量都可以表示为对称张量和反对称张量的和，如：

$\mathbf {T} _{ij}=\underbrace {{1 \over 2}(\mathbf {T} _{ij}+\mathbf {T} _{ji})} _{Symmetric}+\underbrace {{1 \over 2}(\mathbf {T} _{ij}-\mathbf {T} _{ji})} _{Antisymmetric}$           [11]

我们将在下一节关于应变的讨论中发现这一点很有用。同时，任何对称张量都可以通过旋转变换使其与主轴对齐，使得：

$\left[{\begin{matrix}{\text{T}}_{11}&0&0\\0&{\text{T}}_{22}&0\\0&0&{\text{T}}_{33}\end{matrix}}\right]$

张量的性质与它们所代表的材料的晶体对称性密切相关。例如，假设我们有一个晶体中两个由张量 $\mathbf {T}$ 相关的矢量属性 $\mathbf {S}$ 和 $\mathbf {Q}$。如果我们根据晶体的对称元素旋转参考系，那么

${\mathbf {T} _{ij}}'=\mathbf {T} _{ij}$

图 1：旋转一个简单的立方晶体。由于对称性，晶体将周期性地旋转，使其实际上处于与开始时相同的方位。

我们将通过观察像图 1 中的简单立方晶体来检验这一点。当旋转时，此晶体将周期性地旋转回自身，并且相关张量的性质也应该相同。通过将这种理论应用于每种可能的晶体形成，我们可以为每种晶体开发简化的张量，这些张量代表这种对称性。

晶体张量

晶体 形成	张量	数量 独立的 组件
立方	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}&0&0\\0&{\text{S}}&0\\0&0&{\text{S}}\end{matrix}}\right]$$	1
四方 六方 三方	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}_{1}&0&0\\0&{\text{S}}_{1}&0\\0&0&{\text{S}}_{3}\end{matrix}}\right]$$	2
正交	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}_{1}&0&0\\0&{\text{S}}_{2}&0\\0&0&{\text{S}}_{3}\end{matrix}}\right]$$	3
单斜	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}_{11}&0&{\text{S}}_{13}\\0&{\text{S}}_{22}&0\\{\text{S}}_{13}&0&{\text{S}}_{33}\end{matrix}}\right]$$	4
三斜晶系	$$\left[{\begin{matrix}{\text{S}}_{11}&{\text{S}}_{12}&{\text{S}}_{13}\\{\text{S}}_{21}&{\text{S}}_{22}&{\text{S}}_{23}\\{\text{S}}_{31}&{\text{S}}_{32}&{\text{T}}_{33}\end{matrix}}\right]$$	6

应力张量收缩和应力不变关系

本节讨论的大部分内容都与材料性质相关，但我们这里关注的是应力张量；一个对称张量，因此可以排列在主轴对齐。我们现在将使用张量重新推导出 3D 应力关系。斜面上的法向应力写为：

$\sigma _{nj}=a_{ni}\sigma _{ij}$           [12]

这里，$n$ 是斜面法线方向，是原始应力状态。如果斜面是主方向，法向应力为 $\sigma _{p}$，则我们可以将方程写为：

$\sigma _{nj}=a_{pj}\sigma _{p}$           [13]

通过组合方程式12 和 13，我们得到：

$\underbrace {a_{ni}\sigma _{ij}} _{sum\ over\ i}-a_{pj}\sigma _{p}=0$           [14]

克罗内克德尔塔

此外，还有一个方便的表达式称为克罗内克德尔塔 $(\delta _{ij})$，它具有以下性质：

$\delta _{ij}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]={\begin{cases}1\ {\text{if}}\ i=j\\0\ {\text{if}}\ i\neq j\end{cases}}$

当应用于张量时，克罗内克德尔塔被称为“收缩”张量的秩，使其降低两个。这会将一个四阶张量转换为二阶张量，三阶张量转换为一阶张量，等等。出于本文的目的，我们不会经常使用这个表达式，但在将其应用于**方程** **14** ${\textstyle (a_{ni}\sigma _{ij}-a_{pj}\sigma _{p}=0)}$时，我们可以用二阶张量的收缩来替换标量$a_{pj}$，使得：

$a_{pj}=\mathbf {a} _{pi}\delta _{ji}$

这里的收缩规则是将$i$替换为$j$，并移除克罗内克德尔塔项。

回到**方程** **14**，我们将$a_{pj}$替换为我们的克罗内克德尔塔展开，得到：

$a_{ni}\sigma _{ij}-\sigma _{p}a_{pi}\delta _{ji}=0$           **[15]**

这个方程可以完全对$i$求和，并且因为$p$垂直于平面，这使得$a_{ni}$等于$a_{pi}$，我们的方程演变成：

$(\sigma _{ij}-\sigma _{p}\delta _{ji})a_{pi}=0$           **[16]**

这给了我们一组三个方程，其中$j=1,2,3$。通过将方向余弦代入左项，并使用$a_{p1}=\ell$，$a_{p2}=m$，$a_{p3}=n$和$\delta _{ji}=0$当$j\neq i$时，我们可以通过取以下行列式来求解非平凡（非零）解：

$|\sigma _{ij}-\sigma _{p}\delta _{ji}|=\left|{\begin{matrix}\sigma _{x}-\sigma _{p}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}-\sigma _{p}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}-\sigma _{p}\end{matrix}}\right|=0$

这与之前的结果相同。

三个不变量

我们还确定了不变量关系。需要注意的是，这些关系也可以从应力张量中得到。首先，让我们对${\boldsymbol {\sigma }}$进行收缩：

${\boldsymbol {\sigma }}_{ij}\delta _{ij}=\sigma _{ii}=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}={\text{I}}_{1}$

这是我们的第一个不变量。第二个不变量来自${\boldsymbol {\sigma }}$的子式，可以用来展开行列式。

${\text{I}}_{2}=\left|{\begin{matrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{matrix}}\right|$

第三个不变量是${\boldsymbol {\sigma }}$的行列式，其中${\text{I}}_{3}=\det[{\boldsymbol {\sigma }}]$.