材料弹性概述/各向同性响应

本节介绍线性各向同性响应。

我们现在了解张量关系，并已经建立了弹性所需的两个张量；${\boldsymbol {\sigma }}$ 和 ${\boldsymbol {\varepsilon }}$。在本章中，我们将学习如何将它们相互关联。在本节中，我们将开始研究各向同性弹性中的弹性，其中我们假设所有方向都具有相同的材料响应。

弹性模量

在前面的部分中，我们了解到胡克定律可以将单轴载荷与单轴应变联系起来

$\sigma _{11}=E\ \varepsilon _{11}$           [1]

这里，$E$ 是弹性模量。注意，我们任意选择了$x_{1}$ 方向。它可以很容易地是 $x_{2}$ 或 $x_{3}$，或该晶体中的任何其他方向，并发现相同的材料响应，$E$。这就是使用各向同性固体带来的结果。

泊松比

当我们在 $x_{1}$ 方向施加应力时，在横向方向 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 也会自然收缩。这被称为泊松比，$\nu$。

$\varepsilon _{22}=\varepsilon _{33}=-\nu \varepsilon _{11}=-{\nu \ \sigma _{11} \over E}$           [2]

对于完全不可压缩的材料，这意味着它保持体积，泊松比将为 0.50。但是，大多数真实材料，如普通金属，的泊松比约为 0.33。

对于线性弹性、各向同性材料，正应力不会引起剪切应变，剪切应力不会引起正应力。在线性弹性中，应变的各种贡献可以叠加。我们可以使用上述两个弹性模量和泊松比方程来确定，如果施加三轴正应力，则应变将为

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{22} \over E}-{\nu \sigma _{33} \over E}\quad {\begin{cases}\varepsilon _{11}&={1 \over E}\left[\sigma _{11}-\nu \left(\sigma _{22}\sigma _{33}\right)\right]\\\varepsilon _{22}&={1 \over E}\left[\sigma _{22}-\nu \left(\sigma _{33}\sigma _{11}\right)\right]\\\varepsilon _{33}&={1 \over E}\left[\sigma _{33}-\nu \left(\sigma _{11}\sigma _{22}\right)\right]\end{cases}}\end{aligned}}$           [3-5]

转到剪切关系，剪切应力和应变由剪切模量相关联，$G$.

$\sigma _{12}=G\gamma _{12}=G2\varepsilon _{12}$           [6]

同样，由于各向同性特性，此关系也适用于所有其他方向。这三个比例常数足以描述各向同性的线性响应。它们具有典型值（对于常见的工程金属）

${\begin{aligned}50<\ &E<200\quad GPa\\25<\ &G<75\quad GPa\\0.25<\ &\nu <0.35\end{aligned}}$

这里将总结许多其他有用的关系。体积模量，$K$，是静水压力与其产生的膨胀之比

${\textstyle K={-p \over \Delta }={\sigma _{m} \over \Delta }={1 \over \beta }}$           [7]

其中${\textstyle -p}$是静水压力，而$\beta$是压缩率。

将方程 3-5中的三轴法向应变加在一起，我们得到

${\begin{aligned}\underbrace {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}} _{\Delta }&={1-2\nu \over E}(\underbrace {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}} _{3\sigma _{m}})\\\Delta &={1-2\nu \over E}3\sigma _{m}\end{aligned}}$           [8]

将此应用于公式 7 和 8 以获得块模量，结果为

$K={\sigma _{m} \over \Delta }={E \over 3(1-2\nu )}$           [9]

接下来的解没有给出证明，因为展示这些关系需要用到一些高级主题。

$G={E \over 2(1+\nu )}$           [10]

$E={9K \over 1+3K/G}$           [11]

$\nu ={1-2G/3K \over 2+2G/3K}$           [12]

$G={3(1-2\nu )K \over 2(1+\nu )}$           [13]

$K={E \over 9-3E/G}$           [14]

应力-应变关系可以用紧凑的张量符号表示

$\varepsilon _{ij}={1+\nu \over E}\sigma _{ij}-{\nu \over E}\sigma _{kk}\delta _{ij}$           [15]

具体来说，看一下正应变，例如 $\varepsilon _{22}$

$\varepsilon _{22}={1+\nu \over E}\sigma _{22}-{\nu \over E}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})\delta _{22}$

类似地，对于剪切应变 $\varepsilon _{12}$，我们得到

$\varepsilon _{12}={1+\nu \over E}\sigma _{12}-{\nu \over E}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})\delta _{12}$

从 ${\textstyle G={E \over 2(1+\nu )}}$，我们可以发现

${\begin{aligned}{1+\nu \over E}&={1 \over 2G}\\\varepsilon _{12}&={1 \over 2G}\ \sigma _{12}\\\sigma _{12}&=2G\ \varepsilon _{12}\end{aligned}}$

对于给定的应力状态

${\boldsymbol {\sigma }}=\left({\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right)$

我们只能将应变张量写成

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\left({\begin{matrix}{1 \over E}(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}))&{\sigma _{12} \over 2G}&{\sigma _{13} \over 2G}\\{\sigma _{12} \over 2G}&{1 \over E}(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{33}+\sigma _{11}))&{\sigma _{23} \over 2G}\\{\sigma _{13} \over 2G}&{\sigma _{23} \over 2G}&{1 \over E}(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}))\end{matrix}}\right)$           [16]

因此，我们得到了一个用施加载荷（即应力）来表示应变的表达式。这对于预测应用中加载时产生的变形当然很有用。我们感兴趣的还有另一种应用。假设我们对零件进行了变形，那么它会感受到多少应力？这可以回答诸如“在达到屈服强度之前，我能够弯曲这个零件多少？”之类的问 题。基本上，我们希望对现有解决方案进行反转。

为了做到这一点，我们可以将第一个三轴应变方程（即**方程 3**）进行重新排列

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{22} \over E}-{\nu \sigma _{33} \over E}\\&\quad +0={\nu \sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{11} \over E}\\&={\sigma _{11} \over E}+{\nu \sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{11} \over E}-{\nu \sigma _{22} \over E}-{\nu \sigma _{33} \over E}\end{aligned}}$

我们最终得到

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={1+\nu \over E}\sigma _{11}-{\nu \over E}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})\end{aligned}}$           [17]

我们还可以采用我们之前关于 $\Delta$ 的方程，即公式 8，并对其进行重新排列，得到

${\begin{aligned}\Delta &={1-2\nu \over E}3\sigma _{m}\\\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}&={1-2\nu \over E}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})\end{aligned}}$

以及

$\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}={E \over 1-2\nu }(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})$           [18]

然后，将公式 18代入公式 17，我们得到

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={1+\nu \over E}\sigma _{11}-{\nu \over E}\left({E \over 1+2\nu }(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\right)\\\sigma _{11}&=\varepsilon _{11}\left({E \over 1+\nu }\right)+{E \over 1+\nu }{\nu \over E}{E \over 1-2\nu }(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\end{aligned}}$

这将变成

${\begin{aligned}\sigma _{11}&=\left({E \over 1+\nu }\right)\varepsilon _{11}+{\nu E \over (1+\nu )(1-2\nu )}(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\end{aligned}}$           [19]

考虑剪切应力则更简单

${\begin{aligned}\sigma _{12}&=2G\ \varepsilon _{12}\end{aligned}}$

将公式 10代入，得到

${\begin{aligned}\sigma _{12}&=2\ {E \over 2(1+\nu )}\ \varepsilon _{12}\end{aligned}}$

这将变成

${\begin{aligned}\sigma _{12}&=\left({E \over 1+\nu }\right)\varepsilon _{12}\end{aligned}}$           [20]

将公式 19 和 20 结合起来，我们可以得到应力关于应变的张量表达式，即

$\sigma _{ij}={E \over 1+\nu }\varepsilon _{ij}+\underbrace {\nu E \over (1+\nu )(1-2\nu )} _{\lambda }\varepsilon _{kk}\delta _{ij}$           [21]

这里，$\lambda$ 是拉梅常数。我们可以分析这些结果并提取有用的方程。我们将从提取应力的偏应力和静水压力分量开始。

$\sigma _{ij}'=2G\ \varepsilon _{ij}'$           [22]

我们可以通过考虑剪切和法向分量来证明这一点。

剪切

$\sigma _{12}'=\sigma _{12}={E \over (1+\nu )}\varepsilon _{12}=2G\ \varepsilon _{12}=2G\ \varepsilon _{12}'$

法向

${\begin{aligned}\sigma _{11}'&={2\sigma _{22}-\sigma _{22}-\sigma _{33} \over 3}\\&={1 \over 3}\left[2\ (2G\varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{22}+\lambda \varepsilon _{33})-(2G\varepsilon _{22}+\lambda \varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{22}+\lambda \varepsilon _{33})-(2G\varepsilon _{33}+\lambda \varepsilon _{11}+\lambda \varepsilon _{22}+\lambda \varepsilon _{33})\right]\\&={1 \over 3}(4G\varepsilon _{11}-2G\varepsilon _{22}-2G\varepsilon _{33})\\&=2G{2\varepsilon _{11}-\varepsilon _{22}-\varepsilon _{33} \over 3}\\&=2G\varepsilon _{11}'\end{aligned}}$

静水压力和平均应变之间的关系是

$\sigma _{ii}={E \over 1-2\nu }\varepsilon _{kk}=3K\varepsilon _{kk}$           [23]

请注意，我们之前已经多次见过这个表达式！

简化情况

平面应力 $\sigma _{33}=0$.

再次观察我们之前的三轴应变方程，即公式 3 和 4，我们首先将前两个加在一起

${{\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={1 \over E}[\sigma _{11}-\nu \sigma _{22}]={1 \over E}\sigma _{11}-{\nu \over E}\sigma _{22}\\+\nu (\varepsilon _{22}&={1 \over E}[\sigma _{22}-\nu \sigma _{11}]=-{\nu \over E}\sigma _{11}+{1 \over E}\sigma _{22})\end{aligned}} \over \varepsilon _{11}+\nu \varepsilon _{22}=\left({1 \over E}-{\nu ^{2} \over E}\right)\sigma _{11}}{\begin{aligned}\\\\\rightarrow \sigma _{11}&={E \over 1-\nu ^{2}}(\varepsilon _{11}+\nu \varepsilon _{22})\\\sigma _{22}&={E \over 1-\nu ^{2}}(\varepsilon _{22}+\nu \varepsilon _{11})\end{aligned}}$

平面应力通常出现在负载薄板中，更常见的是压力容器中。

另一个简化是平面应变，其中 $\varepsilon _{33}=0$，通常发生在一个维度远大于另外两个维度的情况，因此 $\varepsilon _{11}$ 和 $\varepsilon _{22}$ 远大于 $\varepsilon _{33}$，例如一根长杆，其中沿着杆长度的应变受到约束。在此，公式 5 重排为

${\begin{aligned}\varepsilon _{33}&={1 \over E}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]=0\\\sigma _{33}&=\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\end{aligned}}$

请注意，即使 $\varepsilon _{33}$ 等于零， $\sigma _{33}$ 并不等于零。将此 $\sigma _{33}$ 方程代入公式 3-5 中，得到：

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={1 \over E}\left[(1-\nu ^{2})\sigma _{22}-\nu (1+\nu )\sigma _{11}\right]\\\varepsilon _{22}&={1 \over E}\left[(1-\nu ^{2})\sigma _{22}-\nu (1+\nu )\sigma _{11}\right]\end{aligned}}$