并行谱数值方法/有限精度算术

有关此内容的更多信息，请参阅数值方法教科书，例如 Bradie。由于计算机具有固定数量的内存，浮点数只能用有限的数字精度存储。这限制了在有限时间内可以获得的数值问题解的精度。大多数计算机使用二进制 IEEE 754 算术来执行数值计算。还有其他格式，但这是对我们最相关的格式。

练习

1) 从 http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=2355 下载最新的 IEEE 754 标准，另请参阅 http://grouper.ieee.org/groups/754/ -- 不幸的是，官方标准的链接需要 IEEE 会员资格或订阅。如果您没有这些，请参阅维基百科页面 http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008 以获取您回答以下问题所需的信息。(这些链接截至 2012 年 4 月 1 日是正确的，如果它们不再活动，我们预计可以通过搜索引擎或参考数值分析教科书（如 Bradie）来获取这些信息。)

a) 在此标准中，数字在以下方面的精度范围是什么？

i) 单精度

ii) 双精度

b) 标准对四精度指定了什么？

c) 标准对如何计算基本函数指定了什么？这对程序的可移植性有什么影响？

2) 假设我们离散化了一个函数，该函数的范围为 $x\in [-1,1]$。对于 $\epsilon$ 的哪些值，以下公式成立？

$\epsilon \log \left(\cosh \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\right)=\lVert x\rVert$

在

i) 单精度？

ii) 双精度？

3) 假设我们离散化了一个函数，该函数的范围为 $x\in [-1,1]$。对于 $\epsilon$ 的哪些值，以下公式成立？

$\tanh \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)={\begin{cases}1\quad x\geq 0\\-1\quad x<0\end{cases}}$

在

i) 单精度？

ii) 双精度？

4)

a) IEEE 754 规范中可以存储的最大 4 字节整数的大小是多少？

b) 假设您正在进行一个使用 $N^{3}$ 个网格点进行模拟，并且需要计算 $N^{3}$。如果 $N$ 存储为 4 字节整数，那么 $N$ 的最大值是多少，以便 $N^{3}$ 也可以存储为 4 字节整数？

参考文献

Bradie, B. (2006). A Friendly Introduction to Numerical Analysis. Pearson.

https://wikibooks.cn/wiki/Floating_Point