并行谱数值方法/变量分离

变量分离是一种可以用来求解常微分方程和偏微分方程的技术。对于两个变量的方程，基本思想是将方程改写，使得两个变量分别位于等号的两侧，并且由于等号两侧分别依赖于不同的变量，因此两侧必须等于一个常数。我们用简单的的一阶线性常微分方程来介绍这个思想

${dy \over dt}=y.$

( 1)

只要对于任何 $t$ 的值，$y(t)\neq 0$，我们可以形式上分离变量并改写公式 1 为

${dy \over y}=dt.$

( 2)

现在我们可以通过对两边积分来求解 $y(t)$

$\int {dy \over y}=\int dt$

( 3)

$lny+a=t+b$

( 4)

$e^{lny+a}=e^{t+b}$

( 5)

$e^{lny}e^{a}=e^{t}e^{b}$

( 6)

$y={e^{b} \over e^{a}}e^{t}$

( 7)

$y(t)=ce^{t}.$

( 8)

其中 $a,b,$ 和 $c$ 是积分的任意常数。

我们现在对线性偏微分方程进行类似的例子。热

方程是

$u_{t}=u_{xx}.$

( 9)

我们假设 $u=X(x)T(t)$，因此我们得到

$X(x){dT \over dt}(t)={d^{2}X \over dx^{2}}(x)T(t).$

( 10)

我们可以改写为

${{dT \over dt}(t) \over T(t)}={{d^{2}X \over dx^{2}}(x) \over X(x)}=-C,$

( 11)

其中 $C$ 是一个与 $x$ 和 $t$ 无关的常数。两边可以分别积分得到 $T(t)=exp(-Ct)$ 和 $X(x)=sin({\sqrt {C}}x)$ 或 $X(x)=cos({\sqrt {C}}x).$ 由于热方程是线性的，因此可以将不同的热方程解加在一起，仍然得到热方程的解。因此，热方程的解可以通过

$\sum _{n}\alpha _{n}|exp(-C_{n}t)sin({\sqrt {C_{n}}}x)+\beta _{n}exp(-C_{n}t)cos({\sqrt {C_{n}}}x)$

( 12)

其中常数 $\alpha _{n},\beta _{n}$ 和 $C_{n}$ 经过适当选择。这些级数收敛到实际解的问题在分析数学课程中进行研究（例如，参见 Evans 或 Renardy 和 Rogers），但选择常数 $\alpha _{n},\beta _{n}$ 和 $C_{n}$，以及如何构造这些解，通常是在微积分课程的最后或微分方程课程的开头遇到，例如参见 Courant 和 John 或 Boyce 和 DiPrima。这里，我们考虑 $x\in [0,2\pi ]$ 的情况，我们具有周期性边界条件。在这种情况下，${\sqrt {C_{n}}}$ 必须是整数，我们选择为非负数以避免冗余。在时间 $t=0$，我们假设初始条件由

$u(x,t=0)=f(x).$

( 13)

现在，

$\int _{0}^{2\pi }sin(nx)sin(mx)={\begin{cases}\pi \qquad m=n\\\qquad \qquad \qquad ,\\0\qquad m\neq n\end{cases}}$

( 14)

$\int _{0}^{2\pi }cos(nx)cos(mx)={\begin{cases}\pi \qquad m=n\\\qquad \qquad \qquad ,\\0\qquad m\neq n\end{cases}}$

( 15)

以及

$\int _{0}^{2\pi }cos(nx)sin(mx)=0$

( 16)

因此，我们可以将三角多项式视为正交向量。可以证明，这些三角多项式的总和可以用来近似区间 $[0,2\pi ]$ 上的一大类周期函数；对于行为良好的函数，这种总和中只需要前几项就能获得高精度近似。因此，我们可以将初始条件展开成三角函数的总和，

$f(x)=\sum _{n}\alpha _{n}sin({\sqrt {C_{n}}}x)+\beta _{n}cos({\sqrt {C_{n}}}x)$

( 17)

将上述等式乘以 $sin({\sqrt {C_{n}}}x)$ 或 $cos({\sqrt {C_{n}}}x)$，并利用函数的正交性，我们推导出

$\alpha _{n}={\frac {\int _{0}^{2\pi }f(x)sin({\sqrt {C_{n}}}x)}{\int _{0}^{2\pi }sin^{2}({\sqrt {C_{n}}}x)dx}}$

( 18)

以及

$\beta _{n}={\frac {\int _{0}^{2\pi }f(x)cos({\sqrt {C_{n}}}x)}{\int _{0}^{2\pi }cos^{2}({\sqrt {C_{n}}}x)dx}}$

( 19)

大多数具有实际意义的常微分方程和偏微分方程不可分离。但是，变量分离背后的思想可以用来寻找一大类偏微分方程的级数解。这些级数解也可以用数值方法找到，这也是我们用来寻找偏微分方程的近似解的方法，因此，这个简单例子背后的思想非常有用。

练习

1) 解常微分方程

$u_{t}=u(u-1)$

$u(t=0)=0.8$

使用变量分离。

2)

a) 使用变量分离解偏微分方程

$u_{tt}=u_{xx}$

其中

$u(x=0,t)=u(x=2\pi ,t),$

$u(x;t=0)=sin(6x)+cos(4x)$

以及

$u_{t}(x,t=0)=0.$

b) 在不同的时间点绘制您的解决方案图，或者创建您找到的解决方案的动画。

c) 用于寻找初始条件傅里叶级数展开中系数的过程可能变得非常繁琐/难以处理。考虑初始条件 $u(x,t=0)=exp(sin(x))$。解释一下为什么手工计算这个条件的傅里叶系数会很困难。另外解释一下为什么拥有一个能够为你完成这个任务的算法或计算机程序会很有帮助。

参考资料

Boyce, W.E.; DiPrima, R.C. (2010). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Wiley. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameter: |lnguage= (help)

Courant, R.; John, F. (1998). Introduction to Calculus and Analysis. Vol. I. Springer.

Courant, R.; John, F. (1999). Introduction to Calculus and Analysis. Vol. II. Springer.

Evans, L.C. (2010). Partial Differential Equations. American Mathematical Society.

Rogers, R.C. (2004). An Introduction to Partial Differential Equations. Springer.