工程师与科学家进阶数学/变量变换

变量变换

与常微分方程 (ODE) 一样，偏微分方程 (PDE，更准确地说，初始边界值问题 (IBVP) 作为一个整体) 可以通过某种变量修改来变得更容易处理。到目前为止，我们只处理过在边界上指定流体速度值 u 为零的边界条件。尽管流体力学可以比这更复杂（千禧年最轻描淡写的陈述），但为了多样性，我们现在来看一下热传递。

如前所述，一维扩散方程也可以描述一维热流。想象一下热量如何在一维中流动：一种可能性是完全横向绝缘的杆，因此热量只沿杆流动而不横跨杆（但请注意，可以在不进入二维的情况下考虑沿杆的热量损失/增益）。

如果这根杆具有有限长度，热量可以从未绝缘的端部进出。一根一维杆最多可以有两个端部（也可以有一个或零个：杆可以建模为“非常长”），边界条件可以指定这些端部发生了什么。例如，可以在边界处指定温度，或者可能是热流，或者可能是两者结合。

热流方程通常写成

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

这与平行板流动方程相同，只是将 ν 替换为 α，将 y 替换为 x。

边界固定温度

让我们考虑一根长度为 1 的杆，其边界处指定了温度（固定）。IBVP 为

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=u_{0}\,$

$u(1,t)=u_{1}\,$

φ(x) 是 t = 0 时的温度。看一下 BC 说的是什么：对于所有时间，x = 0 处的温度是 u₀，x = 1 处的温度是 u₁。请注意，这同样可以是平行板问题：u₀ 和 u₁ 会代表壁面速度。

PDE 很容易分离，基本上与前几章相同

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(x,t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(u(x,t))\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}(X(x)T(t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(X(x)T(t))\,$

$X(x){\frac {\partial }{\partial t}}(T(t))=\alpha T(t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(X(x))\,$

${\displaystyle X(x)T'(t)=\alpha T(t)X''(x)\,$

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}\,$

${\Big \Downarrow }$${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-k^{2}\,$

${\Big \Downarrow }$${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}=-k^{2}\Rightarrow T'(t)=-k^{2}\alpha T(t)\Rightarrow T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\alpha t}\,$

${\displaystyle {\frac {X''(x)}{X(x)}}=-k^{2}\Rightarrow X''(x)=-k^{2}X(x)\Rightarrow X(x)=C_{2}\cos(kx)+C_{3}\sin(kx)\,$

${\Big \Downarrow }$$u(x,t)=X(x)T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\alpha t}(C_{2}\cos(kx)+C_{3}\sin(kx))$

$u(x,t)=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(kx)+B\sin(kx))$

现在，代入边界条件

$u_{0}=u(0,t)\,$

$u_{0}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k\cdot 0)+B\sin(k\cdot 0))\,$

$u_{0}=Ae^{-k^{2}\alpha t}\,$

$u_{1}=u(1,t)\,$

$u_{1}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k\cdot 1)+B\sin(k\cdot 1))\,$

$u_{1}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k)+B\sin(k))\,$

我们无法继续。 除了其他问题，指数因子中出现 *t* （之前除掉了）会阻止任何东西从这里出来。

这是另一个例子，说明假设 *u*( *x*, *t* ) = *X*( *x* )*T*( *t* ) 是错误的。 阻止我们得到解决方案的唯一原因是 非零边界条件。 这就是改变变量有帮助的地方：一个新的变量 *v*( *x*, *t* ) 将根据 *u* 定义，它将是可分离的。

想想如何定义 *v*( *x*, *t* ) 使其边界条件为零（“齐次”）。 一种方法是

$u(x,t)=v(x,t)+h(x)\,$

这种形式的灵感来自边界条件的外观，可以很容易地看到

$u(0,t)=u_{0}\,$

$u(1,t)=u_{1}\,$

${\Big \Downarrow }$$v(0,t)+h(0)=u_{0}\,$

$v(1,t)+h(1)=u_{1}\,$

如果 *h*( 0 ) = *u*₀ 且 *h*( 1 ) = *u*₁，则 *v*( *x*, *t* ) 确实具有零边界条件。 几乎任何满足这些条件的 *h*( *x* ) 的选择都可以做到这一点，但只有一个是最佳选择。 将替换代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(x,t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(u(x,t))\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}(v(x,t)+h(x))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(v(x,t)+h(x))\,$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,$

所以现在偏微分方程已经被涉及 *h* 的新项弄乱了。 这将阻止分离......

......除非最后一项恰好为零。 而不是希望它为零，我们可以要求它（上面暗示的最佳选择），并将其他要求 *h*( *x* ) 放在它旁边

${\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}=0\,$

$h(0)=u_{0}\,$

$h(1)=u_{1}\,$

注意，偏导数变成了普通导数，因为 *h* 只是 *x* 的函数。 以上构成了一个非常简单的边值问题，具有唯一解

$h(x)=(u_{1}-u_{0})x+u_{0}\,$

它只是一条直线。 注意，这是 *u*( *x* ) 求解稳态（时间无关）问题时会出现的情况。 换句话说，仅仅观察情况的物理特性，就可以很容易地从某人的屁股中拉出 *h*。

问题现在简化为求解 *v*( *x*, *t* )。 它的 IBVP 将是

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\,$

$v(x,0)=\varphi (x)-h(x)=\varphi (x)-((u_{1}-u_{0})x+u_{0})\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

请注意，初始条件在转换下发生了变化。此 IBVP 的解在之前的章节中通过变量分离和叠加找到，结果为

$v(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)(\varphi (x)-((u_{1}-u_{0})x+u_{0}))\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

现在可以根据变量变化的定义，简单地添加 h(x) 来找到 u(x, t)

$u(x,t)=v(x,t)+h(x)\,$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)(\varphi (x)-h(x))\ dx\cdot \sin(n\pi x)+(u_{1}-u_{0})x+u_{0}\,$

此解看起来像是稳态部分 (即 h(x)) 和瞬态部分 (即 v(x)) 的总和

变量变化的可视化。

边界处的时变温度

请注意，这在非恒定边界条件下无法很好地使用。例如，如果 IBVP 为

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=u_{0}(t)\,$

$u(1,t)=u_{1}(t)\,$

那么，转换它将需要 h = h(x, t)。重复使用之前介绍的 u(x, t) = v(x, t) + h(x, t) 最终将导致

${\frac {\partial v}{\partial t}}+{\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,}$

$v(x,0)=\varphi (x)-h(x,0)\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

其中，为了简化上述偏微分方程

${\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,$

$h(x,0)={\mbox{anything}}\,$

$h(0,t)=u_{0}(t)\,$

$h(1,t)=u_{1}(t)\,$

虽然在初始条件的选择上有一定的自由度，但这并没有真正简化任何东西。

但这并非完全无用。请注意，选择h的偏微分方程是为了简化v(x, t)的偏微分方程（会导致涉及h的项抵消），这可能会引发一个问题：这有必要吗？

答案是否定的。如果是这样，我们为h选择的偏微分方程将无法满足，这会导致v(x, t)的偏微分方程中出现额外的项。然而，v(x, t)的不再可分离的初边值问题可以通过特征函数展开来求解，其完整过程将在稍后介绍。值得注意的是，特征函数展开需要齐次边界条件，因此变换是必要的。

因此，现在我们必须暂时搁置这个问题，没有结论。我已经告诉过你，边界条件会搞乱一切。

压力驱动的瞬态平行板流动

现在回到流体力学。之前，我们处理的是初始时处于运动状态，但由于阻力和驱动力的缺失而逐渐减速的流动。也许，如果我们有一个初始处于静止状态（即零初始条件）但由某个恒定压差驱动而开始运动的流体，情况会更有趣。这种情况下，初边值问题将是

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

$u(y,0)=0\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

之前已经描述过包含压强项的这个偏微分方程。压强项是驱动流动的因素；假设它是恒定的。

变量变换的目的是从偏微分方程中去除压强项（这会阻止分离），同时保持边界条件齐次。

一个途径是向u(x, t)添加一些东西，可以是t的函数，也可以是y的函数，这样微分后会留下一个常数，可以抵消压强项。添加t的函数将非常不利，因为它会导致时间相关的边界条件，因此让我们尝试y的函数

$u(y,t)=v(y,t)+f(y)\,$

将此代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(v(y,t)+f(y))=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(v(y,t)+f(y))-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

此过程仅当以下条件成立时，才能简化 PDE 并保留边界条件。

$0=\nu {\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

$f(0)=0\,$

$f(1)=0\,$

第一个条件，一个常微分方程，是简化 _v_(_y_, _t_) 的 PDE 所必需的，它将导致最后两项的抵消。另外两个条件是为了保留问题的齐次边界条件（注意，如果 _u_(_y_, _t_) 的边界条件不是齐次的，则需要选择 _f_(_y_) 上的边界条件来修正这一点）。

上述边值问题的解很简单。

$f(y)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)\,$

因此，_f_(_y_) 已成功确定。注意，此函数关于 _y_ = 1/2 对称。_v_(_y_, _t_) 的初边值问题变为

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\,$

$v(y,0)=-f(y)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

这与我们一直反复讨论的初边值问题相同。_v_(_y_, _t_) 的解为

$v(y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi y)\left({\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\right)\ dy\cdot \sin(n\pi y)\,$

而 _u_(_y_, _t_) 的解来自变量变化的定义方式。

$u(y,t)=v(y,t)+f(y)\,$

$u(y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\nu t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi y)\left({\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\right)\ dy\cdot \sin(n\pi y)+{\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)\,}$

$u(y,t)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)-{\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\nu t}\cdot {\frac {4(-1)^{n}-4}{n^{3}\pi ^{3}}}\sin(n\pi y)\,$

此解符合我们的预期：它从平坦开始并迅速逼近抛物线形状。这与现实初始条件一章中推导出的稳态流的抛物线相同；积分针对整数n进行了计算，从而简化了它。

仔细观察解可以发现有趣的一点：这仅仅是衰减的平行板流动“反向”。流动不是从抛物线开始并逐渐逼近u = 0，而是从u = 0开始并逐渐逼近抛物线。

时间相关的扩散率

在本例中，我们将改变时间，一个自变量，而不是改变因变量。考虑以下 IBVP

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{1+t^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

请注意，这是一个可分离的方程；变换并不是必需的，但它会更容易，因为如果它能转化成我们熟悉的形式，我们可以重复使用之前的解。

让我们不要涉及这个方程的物理意义，只是把它看作一个扩散问题。它可能是动量的扩散（如流体力学），热量的扩散（传热学），化学物质的扩散（化学），或者仅仅是一个数学家的玩具。换句话说，这只是一个为了举例而专门编造的例子。

二阶导数前面的（时间相关的）因子被称为扩散率。之前，它是一个常数 α（称为“热扩散率”）或常数 ν（“运动粘度”）。现在，它随时间衰减。

为了通过变换简化 PDE，我们寻找使该因子抵消的方法。一种方法是定义一个新的时间变量，称为 τ，并使其与t的关系保持任意性。链式法则得出

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial \tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}\,$

将此代入偏微分方程

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{1+t^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

现在请注意，如果

${\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{1+t^{2}}}\Rightarrow \tau =\arctan(t)+C\,$

C是完全任意的。然而，C的最佳选择是使当t = 0 时，τ = 0，因为这样不会改变在t = 0定义的 IC；因此，取C = 0。请注意，无论选择什么C，BC 都会保持不变，除非它们是时间相关的，在这种情况下，它们会发生变化。IBVP 变成了

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,\tau )=0\,$

$u(1,\tau )=0\,$

找出解决方案并恢复原始变量

$u(x,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\tau }\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)\varphi (x)\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

${\Big \Downarrow }$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\arctan(t)}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)\varphi (x)\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

需要注意的是，与之前的所有例子不同，问题的物理学（如果有的话）无法帮助我们。同样值得一提的是，该解在长时间内并不限制于u = 0。

总结

变量变换对于偏微分方程的工作方式略有不同，因为由于偏微分，您拥有很大的自由度。在本章中，我们选择了似乎是变换的一个良好通用形式（受阻碍容易解决的原因启发），写下了一堆要求，并定义了变换以唯一地满足这些要求。对常微分方程做同样的事情往往会导致打字猴子这种情况。

许多简单的微小变化不言而喻。例如，我们迄今为止一直使用长度为“1”的杆或相隔“1”距离的板。如果杆长 5 米？那么空间将不得不使用以下变换进行无量纲化

$x=5\ {\mbox{m}}\cdot {\hat {x}}\,$

简单的无量纲化很简单；但是对于具有更多项的偏微分方程，它会导致尺度分析，这会导致微扰理论，所有这些都将在后面的章节中解释。

值得注意的是，IBVP 的物理学通常会建议需要进行哪种变换。即使是一些非线性问题也可以用这种方式解决。

这个主题还没有结束，变量的变化将在以后的章节中再次讨论。