工程师和科学家进阶数学/无量纲化

无量纲化

简介

你可能已经注意到，到目前为止，所有问题的处理中都存在一些奇怪的地方：像 $0$ 或 $1$ 这样的“简单”数字不断出现在边界条件和其他地方。例如，我们已经处理了以下边界条件：

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

这是因为作者偷懒，想要简化这本书吗？不，其实作者确实很懒，但这实际上是由于一个叫做**无量纲化**的现象造成的。

在基本层面上，无量纲化做了两件事

• 从问题中消除所有单位。
• 使相关变量的取值范围在 $0$ 到 $1$ 之间（或更小的范围）。

第二点有着非常重要的影响，我们将在后面讨论。现在我们先谈谈如何从问题中消除单位：这是非常重要的，因为大多数自然函数在输入单位时都没有意义。例如，$\sin(2.0s)$ 是一个毫无意义的表达式（如果你不相信，可以考虑它的泰勒展开式）。

不要误解：你可以保留单位来解决任何问题。这就是为什么角速度的单位是赫兹 ($s^{-1}$)，因此，$\sin(2.0Hzt)$ 在 $t$ 以秒为单位（或可以转换为秒）的情况下是有意义的。

通过观察变量与维度（“维度”包括大小和单位）的比率不断出现，可以找到无量纲化的动机。让我们看看，如果将两块平行板之间的距离设为 $D$（而不是 $1$）来求解稳态平行板流动（一个常微分方程）会发生什么：

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

现在，让我们先不考虑$y$和$L$的维数。求解这个边界值问题

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\qquad \Rightarrow \qquad u={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}y^{2}+C_{1}y+C_{0}\,$

$u(0)=0={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}\cdot 0^{2}+C_{1}\cdot 0+C_{0}\qquad \Rightarrow \qquad C_{0}=0\,$

$u(D)=0={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}D^{2}+C_{1}D\qquad \Rightarrow \qquad C_{1}=-{\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}D\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(y)={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}(y^{2}-Dy)\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(y)={\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}\left(\left({\frac {y}{D}}\right)^{2}-{\frac {y}{D}}\right)\,$

注意，我们有$y/D$出现。这不是巧合；这意味着无量纲问题（或者至少是半无量纲问题。我们还没有讨论$u$的维数）可以通过改变$y$变量来建立

${\hat {y}}={\frac {y}{D}}\,$

${\hat {y}}$ 是 $y$ 的归一化版本，它在 $0$ 到 $1$ 之间变化，其中 $y$ 从 $0$ 到 $D$。据称$y$ 被 $L$ 缩放了。

这个新变量可以代入问题中

$u({\hat {y}})={\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

由于新变量不包含单位，如果 $u$ 具有速度单位，则有理系数必须具有速度单位。考虑到这一点，系数可以除以

${\frac {u({\hat {y}})}{\cfrac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}={\hat {y}}^{2}-{\hat {y}}\,$

我们可以定义另一个新变量，无量纲速度

${\hat {u}}={\frac {u({\hat {y}})}{\cfrac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}\,$

将此代入方程

${\hat {u}}({\hat {y}})={\hat {y}}^{2}-{\hat {y}}\,$

现在是时候问一个重要的问题了：为什么？

有很多好处。原始问题涉及 4 个参数：粘度、密度、压力梯度和壁面分离距离。在这个完全无量纲化的解决方案中，恰好没有这样的参数。上面的简化方程完全描述了解的行为，它包含了所有相关信息。

一个无量纲问题的解比一个特定有量纲问题的解要有用得多。如果问题只产生数值解，这尤其如此：求解无量纲问题会大大减少需要制作的图表和图形的数量，因为你减少了可能影响解的参数数量。

这引出了另一个重要的问题，也是本章的总结：在这里，我们首先解决了一个通用的有量纲问题，然后将其无量纲化。对于更复杂的问题，我们可能没有这种奢侈。能否事先将其无量纲化？当然可以。回顾一下 BVP

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

请注意，$y$ 在我们感兴趣的域中，从 $0$ 变化到 $D$。因此，用 $D$ 缩放 $y$ 是 自然 的。

${\hat {y}}={\frac {y}{D}}\,$

请注意，我们也可以用 $\pi D$ 或者 e^10.0687 D 等数字来缩放 $y$，并且仍然得到 $y$ 的无量纲化，以及所有数学上的合理性。但是，$D$ 本身 是最佳选择，因为得到的变量 ${\hat {y}}$ 将从 $0$ 变化到 $1$。通过这种缩放选择，该变量除了无量纲化之外，也被称为 归一化；归一化对于数学简化、准确的数值评估、尺度感以及其他原因来说都是一个理想的属性。

那 $u$ 呢？$y$ 的特性是已知的，但 $u$ 则不然（为什么要解决问题呢？）。让我们为 $u$ 的未知尺度想出一个名称，比如 $u_{s}$，并使用这个未知常数来归一化 $u$

${\hat {u}}={\frac {u}{u_{s}}}\qquad \Rightarrow \qquad u=u_{s}{\hat {u}}\,$

使用链式法则，新的变量可以代入微分方程

${\frac {du}{dy}}={\frac {d}{dy}}(u)={\frac {d}{dy}}(u_{s}{\hat {u}})=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{dy}}=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\cdot {\frac {d{\hat {y}}}{dy}}=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\cdot {\frac {d}{dy}}\left({\frac {y}{D}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\,$

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left({\frac {du}{dy}}\right)={\frac {d}{dy}}\left({\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d}{dy}}\left({\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d}{d{\hat {y}}}}\left({\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)\cdot {\frac {d{\hat {y}}}{dy}}={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\cdot {\frac {d}{dy}}\left({\frac {y}{D}}\right)={\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\,$

因此我们现在有了导数。可以将其代入微分方程

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

${\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u_{s}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

请记住，$u_{s}$ 是从空气中提取的一个常数。 因此，它可以是我们想要的任何值。 为了使方程无量纲化并尽可能地简化它，我们可以选择

$u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

这样，常微分方程就会变成

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\,$

边界条件是齐次的，因此它们可以很容易地简化。 注意到当$y=D$ 时，${\hat {y}}=1$

${\hat {u}}(0)=0\,$

${\hat {u}}(1)=0\,$

现在可以很快地解决这个问题

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\qquad \Rightarrow \qquad {\hat {u}}={\frac {{\hat {y}}^{2}}{2}}+C_{1}{\hat {y}}+C_{0}\,$

${\hat {u}}(0)=0={\frac {0^{2}}{2}}+C_{1}\cdot 0+C_{0}\qquad \Rightarrow \qquad C_{0}=0\,$

${\hat {u}}(1)=0={\frac {1^{2}}{2}}+C_{1}\cdot 1\qquad \Rightarrow \qquad C_{1}=-{\frac {1}{2}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\hat {u}}({\hat {y}})={\frac {1}{2}}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

因此，这与从量纲解推导的无量纲解并不完全相同：右侧有一个因子为$1/2$。因此，$u_{s}$ 缺少 $2$。这不是问题，两种推导都解决了问题并对其进行了无量纲化。请注意，在这样做时，我们甚至在求解 BVP 之前就得到了以下结果

$u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

这说明了速度的大小。

在结束本章之前，值得一提的是，一般来说，如果 ${\hat {u}}=uu_{s}+C_{u}$ 并且 ${\hat {y}}=yy_{s}+C_{y}$，其中 $u_{s}$，$y_{s}$，$C_{u}$ 以及 $C_{y}$ 都是常数，

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial y^{n}}}={\frac {\partial ^{n}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{n}}}\cdot {\frac {u_{s}}{y_{s}^{n}}}\,$

莱布尼兹记号绝对是一件好事。