物理化学/状态函数

以下演示了什么是状态函数，什么不是状态函数。

$q_{rev}\;$对于服从范德华方程的气体来说，不是精确微分，但${\frac {q_{rev}}{T}}$是，如下所示

$dq_{rev}\;=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{v}dT+\left[P_{ext}+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]dV$

我们假设准静态情况，因此 $P_{ext}=P\;$.

$dq_{rev}\;=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{v}dT+\left[P+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]dV$

$=C_{v}dT+\left[P+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]dV$

$=C_{v}dT+\left[P+\left({\frac {a}{{\overline {V}}^{2}}}\right)\right]dV$

$=C_{v}dT+\left({\frac {RT}{{\overline {V}}-b}}\right)dV$

现在，您需要进行交叉偏导数。

$\left({\frac {\partial C_{v}}{\partial V}}\right)_{T}=0$

$\left({\frac {\partial \left({\frac {RT}{{\overline {V}}-b}}\right)}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {R}{{\overline {V}}-b}}$

它们并不相等；因此，$q_{rev}\;$不是精确微分（不是状态函数）。

但是，如果我们取 ${\frac {q_{rev}}{T}}$它将是精确微分（状态函数）。

${\frac {dq_{rev}}{T}}={\frac {C_{v}}{T}}dT+\left({\frac {R}{{\overline {V}}-b}}\right)dV$

求交叉偏导数。

$\left({\frac {\partial \left({\frac {C_{v}}{T}}\right)}{\partial V}}\right)_{T}=0$

$\left({\frac {\partial \left({\frac {R}{{\overline {V}}-b}}\right)}{\partial T}}\right)_{V}=0$

两者相等，使${\frac {q_{rev}}{T}}$成为精确微分（状态函数）。