物理练习/能量守恒

神奇的投石索

第一部分。 (中等)

许多运动学问题，一旦掌握了基本的运动方程，就会变得相对简单。当所有的方程到位时，能量守恒也很简单。那么问题就变成了处理这两者的问题。以一个简单的投石索为例，它在一个垂直于重力方向的轴上旋转。然后释放这个投石索，有效载荷在着陆之前行驶一段距离 R，然后到达它应该到达的地方。

对于一个简单的投石索，这是一个纯粹的运动学问题。重力向下拉动有效载荷，因为它以如下方式移动

$y''(t)=-g$ $x''(t)=0$

因此，每个轴的运动方程为

$y(t)=-gt^{2}/2+V_{\mathrm {y_{0}} }t+y_{0}$ $x(t)=V_{\mathrm {x_{0}} }t+x_{0}$

从那里，就可以计算出给定的射程

$g$ ，重力常数，即 9.81 米/秒²
$x_{0}$ ，物体在时间 t=0 时在 x 坐标中的位置
$x_{0}$ ，物体在时间 t=0 时在 y 坐标中的位置
$V_{\mathrm {x_{0}} }$ ，物体在时间 t=0 时在 x 坐标中的速度
$V_{\mathrm {y_{0}} }$ ，物体在时间 t=0 时在 y 坐标中的速度。

因此，使用这组方程，任何人都可以计算出射程。只需在 x 方程中求解 t，将 t 的这个值代入 y 方程。如果有一个平面，其函数为 y=0，或其他一些函数 y=f(x)，则这种方法将有效，这就是我更喜欢它的原因。只需找到这两个函数（地面函数和新创建的函数）的交点，就可以求解当函数碰撞时的 x。使用此结果求解 y。如果问题要求，使用求得的 x 值，用它求解 t。

因此，假设有一个球，它在长度为 r 的绳子上，始终以切线速度 V 运动。使用纯运动学，找到这个球的射程，作为释放角的函数。找到球的最大射程。

a.) 到底是用下旋球好还是用上旋球好？
b.) 哪个角度可以获得最大的射程？
c.) 哪个角度可以让球直接穿过投石索圆圈的中心？

第二部分。 (困难)

将投石索变成弹弓。在这个弹弓上，释放角度是多少才能获得最佳射程？注意，相对于角度的速度不再恒定。它将随着高度的增加而线性增加，就像下降的重量的速度随着它接近地面而增加一样。

a.) 弹弓的射程是多少？
b.) 最大射程是多少？

第三部分。 (非常困难)

现在让我们加大规模。回到投石索。现在圆圈的半径非常大，以至于圆圈底部和顶部之间的势能差不可忽略。假设这是唯一的变化

a.) 投石索的射程是多少，作为释放角的函数？
b.) 哪个角度可以获得最大的射程？
c.) 到底是用下旋球好还是用上旋球好？
d.) 哪个角度可以让它穿过圆圈的中心？

(如果你像我一样得到关于 cos²(θ) 的四次方程，就把那个方程贴出来。)