物理习题/材料强度

练习题

过高的塔

部分 1. (简单)

1.) 考虑一块具有恒定横截面积的高材料块。由于该块具有质量，它对它下面的材料施加一定量的压力。最终，在一定高度上，物体的自身质量必须导致塔崩塌。对于密度为 $\rho$ 、抗拉强度为 $\sigma _{t}$ 的材料，在重力为 $g$ 的行星上，它的高度是多少？

计算以下物质的最大高度（米）：

铁
铅
混凝土

部分 2. (中等)

2.) 哇，那真的很高。在几公里的范围内，显然气压会减弱，所以塔可以稍微高一点，考虑到它承受的压力不会那么大。由于塔的高度在几英里范围内，因此需要从表格中确定气压。w:大气压列出了以下公式

在 86 公里（或 278,400 英尺）以下的不同高度范围内计算气压，有两个不同的公式。当标准温度下降率不等于零时，使用公式 1；当标准温度下降率等于零时，使用公式 2。

公式 1

{P}=P_{b}\cdot \left[{\frac {T_{b}}{T_{b}+L_{b}\cdot (h-h_{b})}}\right]^{\frac {g_{0}\cdot M}{R^{*}\cdot L_{b}}}

公式 2

{P}=P_{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}\cdot M\cdot (h-h_{b})}{R^{*}\cdot T_{b}}}\right]

其中

P

= 静压（帕斯卡）

T

= 标准温度（开尔文）

L

= 标准温度下降率（每米开尔文）

h

= 海拔高度（米）

R^{*}

= 空气通用气体常数：8.31432×10³ N·m / (kmol·K)

g_{0}

= 重力加速度常数 (9.80665 m/s²)

M

= 地球大气的摩尔质量 (28.9644 g/mol)

下表中显示了大气层的七个连续层，下标 b 的值从 0 到 6，分别对应每个连续层。在这些公式中，g₀、M 和 R^* 都是单值常数，而 P, L, T, 和 h 都是多值常数，其值与下表一致。需要注意的是，M, g₀ 和 $R^{*}$ 的值是根据 1976 年美国标准大气模型得出的， $R^{*}$ 特别是不符合该常数的标准值。^[1] P_b 的参考值，当 b = 0 时，为定义的海平面值，P₀ = 101325 帕斯卡或 29.92126 英寸汞柱。P_b 的值，当 b = 1 到 b = 6 时，是通过在 $h=h_{b+1}$ 时，应用公式 1 和 2 中适当的一对方程得到的。:^[1]

下标 b	海拔高度		静压		标准温度 (K)	温度递减率
下标 b	(m)	(ft)	(帕斯卡)	(英寸汞柱)	标准温度 (K)	(K/m)	(K/ft)
0	0	0	101325	29.92126	288.15	-0.0065	-0.0019812
1	11,000	36,089	22632.1	6.683245	216.65	0.0	0.0
2	20,000	65,617	5474.89	1.616734	216.65	0.001	0.0003048
3	32,000	104,987	868.019	0.2563258	228.65	0.0028	0.00085344
4	47,000	154,199	110.906	0.0327506	270.65	0.0	0.0
5	51,000	167,323	66.9389	0.01976704	270.65	-0.0028	-0.00085344
6	71,000	232,940	3.95642	0.00116833	214.65	-0.002	-0.0006096

假设此表格是准确的

使用您之前找到的高度，通过此公式找到大气压力的通用值。考虑到最终抗压强度很可能是在海平面大气中测定的，这些材料的新最大高度是多少？

第 3 部分。 (中等难度)

3.) 这增加了数米。也许更有趣的是地球重力的变化。考虑到地球的重力按如下方式变化

g{\frac {R^{2}}{(R+h)^{2}}}\,

其中

g 是半径为 R（即塔底）处的重力
h 是粒子在地表以上的距离
R 是地球的半径

用给定量找到新的最大高度。并加上大气压。

第 4 部分。 (困难)

4.) 这也增加了数米。但要真正增加高度，就需要非恒定的横截面积。那么，如果塔实际上是一个圆锥体呢？用给定的量找到一个将塔的最大高度与塔的圆锥角相关的方程。如果塔底的直径只能为 $D$ 米，塔的最大高度是多少（忽略大气压和重力的变化，否则积分无法计算）。

第 5 部分。 (非常困难)

5.) 虽然圆锥体可以使高度非常有用，但如果您可以为面积选择任何以高度为函数的函数呢？是否可以使用地球重力场的减弱来建造一座能够无限高度的塔？如果不是，什么形状可以使塔的最大高度最大，假设塔的直径不能大于 $D$ 。 (注意：目前尚未找到解决方案)。

我稍后会发布答案。我在某个时候将这个问题作为一项思维练习，我知道这些塔的最高高度一般为数英里，对某些较轻的材料来说甚至可以达到十多英里。

参考文献

↑ ^a ^b 美国标准大气，1976 年，美国政府印刷局，华盛顿特区，1976 年。 (链接文件很大)

[USSA1976-1] 美国标准大气，1976 年，美国政府印刷局，华盛顿特区，1976 年。 (链接文件很大)

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