物理学习指南/圆周运动

匀速圆周运动

速度和频率

匀速圆周运动假设物体运动时 (1) 做圆周运动，并且 (2) 以恒定速度 $v$ 运动；那么

$T={\frac {2\pi r}{v}}$

其中 $r$ 是圆形路径的半径， $T$ 是物体绕一圈所需的时间。

任何在圆周上运动的物体都会在经过一个周期的旋转后回到它最初的起点， $T$ 。此时，物体已经行进了距离 $2\pi r$ 。如果 $T$ 是物体走完距离 $2\pi r$ 所需的时间，那么物体的速度是

$v={\frac {2\pi r}{T}}=2\pi rf$

其中 $f={\frac {1}{T}}$

角速度

匀速圆周运动可以用极坐标系的角速度 $\omega$ 来显式地描述

$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}$

其中 $\theta$ 是物体的角坐标（参见右侧的图表以作参考）。

由于匀速圆周运动中的速度是恒定的，因此

$\omega ={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}$

由此事实，可以得出一些有用的关系

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f={\frac {v}{r}}$

描述 $\theta$ 如何随时间变化的方程类似于匀速直线运动的方程。特别是：

$\theta =\theta _{0}+\omega t$

在 $t=0$ 时的角度， $\theta _{0}$ ，通常被称为相位。

速度、向心加速度和力

平面中物体的坐标可以根据以下公式从极坐标转换为直角坐标

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}$

将 $\theta$ 表示为时间的函数，则可以得到直角坐标随时间变化的公式，用于描述匀速圆周运动

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta _{0}+\omega t)\\y&=r\sin(\theta _{0}+\omega t)\end{aligned}}$

对时间求导可以得到速度矢量的分量

${\begin{aligned}v_{x}&=\omega r(-\sin(\omega t))=-v\sin(\omega t)\\v_{y}&=\omega r\cos(\omega t)=v\cos(\omega t)\end{aligned}}$

圆周运动中的速度矢量与物体的轨迹相切。此外，即使速度恒定，速度矢量也会随时间变化方向。进一步求导可以得到加速度的分量（这仅仅是速度分量变化率）。

${\begin{aligned}a_{x}&=-\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\a_{y}&=-\omega ^{2}r\sin(\omega t)\end{aligned}}$

加速度矢量垂直于速度并指向圆形轨迹的中心。因此，圆周运动中的加速度被称为向心加速度。

向心加速度的大小可以通过以下公式得到

${\begin{aligned}a_{c}&={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}={\sqrt {(\omega ^{2}r)^{2}{\big (}\cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t){\big )}}}\\&=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}\end{aligned}}$

为了维持向心加速度，以及因此的圆周运动，一个向心力必须作用于物体。根据牛顿第二定律，该力将由以下公式给出：

${\vec {F_{c}}}=m{\vec {a_{c}}}$

其分量为：

${\begin{aligned}F_{x}&=-m\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\F_{y}&=-m\omega ^{2}r\sin(\omega t)\end{aligned}}$

而其绝对值为：

$F_{c}=m\omega ^{2}r=m{\frac {v^{2}}{r}}$