物理学习指南/向量和标量

向量是具有数值量（称为“大小”，用 |v| 表示）和方向的物理量。速度是向量的例子；它描述了位置随时间的变化率，具有数值量（米每秒）以及指示运动方向。

向量的定义是任何根据平行四边形法则相加的量（有一些物理量具有大小和方向，但不是向量）。

标量是物理学中没有方向的量。质量是一个标量；它可以用单位（千克）描述物质的数量，但不描述任何方向。

向量和标量的乘法

标量乘以标量得到标量结果。
向量被标量乘以得到标量结果（称为点积）。
向量被向量叉乘得到向量结果（称为叉积）。
向量乘以标量得到向量结果。

关于向量的常见问题

什么时候标量和向量组合本质上相同？

答案：当多个向量在同一方向时，我们可以直接将大小相加。因此，标量和向量组合将与我们不添加方向时的相同。

什么是“点积”？(当力不平行于位移时)

答案：让我们以重力作为我们的力。如果你从飞机上跳下来，你会加速下落。（为简单起见，让我们忽略空气阻力）。为了计算任何一点的动能，你只需将重力引起的力的值乘以在力方向上移动的距离。例如，一个 180 牛顿的男孩下落 10 米，将获得 1800 焦耳的额外动能。我们说重力对该人做了 1800 焦耳的功。

请注意，能量不是向量。它有一个值，但没有方向。重力和位移是向量。它们有值和方向。（在本例中，它们的方向分别是向下和向下）。我们能够从向量重力和位移中得到一个标量能量的原因是，在本例中，它们恰好指向相同的方向。重力向下作用，位移也向下。

当两个向量指向相同的方向时，可以通过将两个向量的值相乘并忽略方向来得到标量积。

但是，如果它们不指向相同的方向会发生什么呢？

考虑一个人走上山坡。显然，这样做需要能量，因为你在对抗重力。山坡越陡峭，爬上它每一步需要的能量就越多。除非我们住在盐湖上，否则我们都知道这一点。

在这样的情况下，我们仍然可以计算出所做的功。在图中，绿线代表位移。为了找出该人对抗重力做了多少功，我们计算出位移在重力作用线上的投影。在本例中，它只是该人位移的 y 分量。这就是 cos θ 出现的地方。θ 仅仅是速度向量和力向量之间的夹角。

如果两个力不指向相同的方向，你仍然可以通过将一个力在另一个力方向上的投影相乘来得到标量积。因此

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\equiv \|{\vec {a}}\|\ \|{\vec {b}}\|\ \cos \theta

还有另一种定义点积的方法，它依赖于分量。

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\equiv a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

什么是“叉积”？(磁场中带电粒子的力)

答案：假设有一个带电粒子在恒定的磁场中运动。根据电磁定律，该粒子受到一种称为洛伦兹力的作用。如果该粒子以 30 米/秒的速度从左向右运动，并且磁场强度为 30 特斯拉，垂直指向粒子，那么该粒子实际上将在两个粒子所在的平面上以螺旋形向外加速，其加速度为其电荷（以库仑计）乘以 900 牛顿/库仑！这是因为洛伦兹力的计算涉及叉积。叉积可以用来代替 sin0，从而在乘法过程中进行。叉积可以使用两个向量之间的角度和你的右手来简单计算。如果两个力平行或彼此相差 180°，则很简单：叉积不存在。如果它们完全垂直，则叉积的大小为两个大小的乘积。对于其他所有情况，则使用以下公式：