使用几何代数的物理学/基本几何代数
克利福德将他的代数描述为几何代数，因为它们的代数运算自然地映射到几何运算。特别是，它们提供了对各种空间中的旋转和反射的优雅表示。本介绍将解释几何代数的工作原理以及它们如何与几何运算对应。
几何代数是一个代数族。从物理学的角度来看，最有趣的几何代数是 G2 (2D)、G3 (欧几里德空间) 和时空代数 (STA)。为了说明目的，我们将从 G2 (2D) 开始。(我们将在本节中不讨论时空代数)。
代数可以定义为向量空间加上乘积运算，其中向量空间由可以相加和按比例缩放的向量组成，其中标量是实数。
e1 和 e2 是正交基向量，这意味着 |e1| = |e2| = 1，并且 e1 和 e2 是正交的。(参见图 1)。
e1 是 x 轴的单位向量。e2 是 y 轴的单位向量。
我们知道如何将两个向量相加，只需将分量相加即可(参见图 2)
1e1 + 3e2 (u)
+ 2e1 + 1e2 (v)
————————
= 3e1 + 4e2 (w)
注意：[3,4] 不是向量； 3e1 + 4e2 是向量。
几何代数中的向量积是什么？
对向量乘法的简单方法是代数交叉相乘
(ae1 + be2)(ce1 + de2) =
ace1e1 + ade1e2 + bce2e1 + bde2e2
但 e1e1、e1e2、e2e1 和 e2e2 是什么？
作为对这个问题的部分回答，我们引入了一个新的基元素 e12，它对应于 x-y 平面(参见图 3)。我们规定 e1e2 = e12 并且 e2e1 = -e12。
两个基向量的乘积是一个平面。
您可以将 e1e2 视为将 e1 沿 e2 的方向扫过。 覆盖的区域是 e12。
基元素的方向取决于从第一个向量到第二个向量旋转时你旋转的方式。如果你以右手方式移动(例如，在图 3 的第一张图像中，从 e1 到 e2)，那么方向为正。如果你以左手方式移动(例如，在图 3 的第二张图像中，从 e2 到 e1)，那么方向为负。(“右手”指的是当你拇指指向你的方向，而你的手沿手指方向移动时，你的右手转动的方向。)
如果你包含一个标量元素，我们现在在 G2 中有四个基元素：1、e1、e2 和 e12。
下表定义了这些基元素之间的乘法，其中行对应于乘积中的左项，列对应于右项
| L\R | 1 | e1 | e2 | e12 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e1 | e2 | e12 |
| e1 | e1 | 1 | e12 | e2 |
| e2 | e2 | -e12 | 1 | -e1 |
| e12 | e12 | -e2 | e1 | -1 |
请注意，乘以 e12 会使基向量旋转 90 度
从左侧乘以 e12 会导致左手旋转 (e1 -> -e2 -> -e1 -> e2)。
从右侧乘以 e12 会导致右手旋转 (e1 -> e2 -> -e1 -> -e2)。
另请注意，e12 的平方等于 -1，这对应于旋转 180 度。
e12 在 G2 中起着 i 的作用。
我们现在可以说在 G2 中将两个向量交叉相乘意味着什么
(ae1 + be2)(ce1 + de2)
= ace1e1 + ade1e2 + bce2e1 + bde2e2
= ac + ade12 - bce12 + bd
= (ac + bd) + (ad - bc)e12.
这个标量加上缩放的基平面与复数(x +yi) 同构，其中 e12 起着虚数 i 的作用。
我们将任何形式为 a + be12 的表达式称为旋量(或旋转子)。(我们将在下一节中看到为什么它有这个名称。)
两个向量的乘积是一个旋量。
请注意，ac + bd 是两个向量点积(或内积) 的定义，而 ad - bc 是两个向量外积(或外积) 的定义。因此，uv = u·v + u∧v。
一般来说，G2 中的多向量有四个分量：a + be1 + ce2 + de12。
我们将保留“向量”一词来指代仅包含基向量的多向量：be1 + ce2。
旋量是一个仅包含标量和基平面的多向量：a + de12。
当我们从右侧乘以 e12 时
(ae1 + be2) e12 = ae2 - be1
我们看到 e12 将向量中的每个基向量旋转 90 度
e1 -> e2
e2 -> -e1。
这会将整个向量旋转 90 度(参见图 4)。这是因为向量只是其基向量的总和，所以如果基向量被旋转，向量也会被旋转。
将任何向量乘以 e12 会将向量旋转 90 度。
当我们乘以旋量乘以向量时，我们得到
(a + be12) (ce1 + de2)
= a(ce1 + de2) + be12(ce1 + de2)
= a(ce1 + de2) + b(de1- ce2).
结果在向量的原始方向上有一个分量(旋量的标量乘以向量(图 5 中的 a))，加上一个垂直于向量的分量(旋量的 e12 乘以向量，这会将向量旋转 90 度(图 5 中的 b))。这种组合允许向量任意旋转。
将旋量乘以向量会旋转向量。
令 u = ae1 + be2
并且 v = ce1 + de2。
那么
uv = (ae1 + be2)(ce1 + de2)
= (ac + bd) + (ad - bc)e12
= R.
那么 uR = (ae1 + be2) [[(ac + bd) + (ad - bc)e12]]
= ae1(ac + bd) + ae2(ad - bc) + be2(ac + bd) - be1(ad - bc)
= [a2c + abd - abd + b2c]e1 + [a2d - abc + abc + b2d]e2
= [a2c + b2c]e1 + [a2d + b2d]e2
= [a2 + b2]ce1 + [a2 + b2]de2
= [a2 + b2](ce1 + de2)
= [a2 + b2]v.
因此，如果 uv = R，那么 uR = |u|2v。
R = uv 表示 u 到 v 之间的旋转。
另一种展示方法是注意到，由于对于任何向量，uu = |u|2（外积为零，所以只剩下点积），那么 uR = u(uv) = (uu)v = |u|2v。所以，当 R 在右边时，它将向量从 u 旋转到 v。类似地，由于 Rv = (uv)v = u(vv) = |v|2u，当 R 在左边时，它将向量从 v 旋转到 u。
令 R = uv。我们知道 uR = u(uv) = (uu)v = |u|2v。现在考虑 vR。我们知道 R 将向量旋转 u 和 v 之间的角度。当我们将 v 从 u 旋转 u 和 v 之间的角度时，我们将得到 u'，它是 u 关于 v 的反射。（见图 6。）
在欧几里得空间中，有三个对应于三个平面的基元素：e12（x-y 平面）、e23（y-z 平面）和 e31（x-z 平面）。 还有一个对应于空间的基元素：e123。
就像任意向量可以表示为缩放基向量的和一样，任意平面可以表示为缩放基平面的和。因此，u∧v 是缩放基向量的和，它表示包含 u 和 v 的平面。（u∧v 是 uv 去掉标量元素，可以用 (uv - vu)/2 计算。）
G3 多向量包含八个元素
多向量 = a + be1 + ce2 + de3 + fe12 + ge23 + he31 + ke123
多向量的以下子集很有用
向量 = be1 + ce2 + de3
平面 = fe12 + ge23 + he31
旋量 = a + fe12 + ge23 + he31
旋量与泡利旋量同构。
以下是 G3 的乘法表
| 1 | e1 | e2 | e3 | e12 | e23 | e31 | e123 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e12 | e23 | e31 | e123 |
| e1 | e1 | 1 | e12 | -e31 | e2 | e123 | -e3 | e23 |
| e2 | e2 | -e12 | 1 | e23 | -e1 | e3 | e123 | e31 |
| e3 | e3 | e31 | -e23 | 1 | e123 | -e2 | e1 | e12 |
| e12 | e12 | -e2 | e1 | e123 | -1 | -e31 | e23 | -e3 |
| e23 | e23 | e123 | -e3 | e2 | e31 | -1 | -e12 | -e1 |
| e31 | e31 | e3 | e123 | -e1 | -e23 | e12 | -1 | -e2 |
| e123 | e123 | e23 | e31 | e12 | -e3 | -e1 | -e2 | -1 |
注意，此表中只包含 1、e1、e2 和 e12 的行和列的子集与 G2 的乘法表相同。类似地，对于只包含 1、e1、e3 和 e31 的子集以及只包含 1、e2、e3 和 e23 的子集。因此，二维平面的几何嵌入在三维空间的几何中。表中唯一新增的元素是那些以某种方式涉及 e123 或涉及两个基平面相乘的元素。
将基平面乘以剩余向量得到 e123:
e12e3 = e123
e1e23 = e123
e2e31 = e123
e31e2 = e123
想象一下平面在向量方向上扫过空间。
将任何东西乘以 e123 会得到它的对偶（注意：向量和平面互为对偶，标量和空间互为对偶）
e12e123 = e3
e1e123 = e23
1e123 = e123
e123e123 = -1
这使我们能够用外积来定义叉积
u⨯v = e123u∧v。
叉积和外积互为对偶。
将一个平面乘以另一个平面得到第三个平面:
e12e23 = -e31
e12e31 = e23
e23e31 = -e12
e31e23 = e12
三个基平面对应于四元数中的i、j、k，G3 旋量与四元数同构。你可以通过将表中只包含 1、e12、e23 和 e31 的行和列的子集与以下表进行比较，其中 e12 对应于 i，e31 对应于 j，e23 对应于 k。
| × | 1 | i | j | k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | −1 | k | −j |
| j | j | −k | −1 | i |
| k | k | j | −i | −1 |
整个 G3 乘法表基于两个规则:
eiei = 1
eiej = -ejei (i ≠ j)
以下是一些工作示例（记住 eij = eiej 以及 eijk = eiejek）
e12e12 = e1e2e1e2 = -e1e2e2e1 = -e1e1 = -1
e123e3 = e1e2e3e3 = e1e2 = e12
e2e31 = e2e3e1 = -e2e1e3 = e1e2e3 = e123
G3 中的旋转比 G2 中的旋转稍微复杂一些。如果要旋转的向量位于旋转平面中，则 G3 中的旋转可以正常工作。但是，如果要旋转的向量位于旋转平面之外，则 G3 中的旋转不会产生正确的向量。要看到这一点，考虑将 e1 + e2 + e3 绕 e12 右侧旋转。根据 G3 的乘法表，我们得到
e2 - e1 + e123
前两个元素对应于将 e1 + e2 绕 e12 旋转。最后一个元素是将 e3 乘以 e12 时得到的：体积 e123。
解决此问题的方法是将结果绕旋转的共轭（旋转的共轭会使旋转的所有非标量元素取反）在另一侧旋转
-e12(e2 - e1 + e123) = -e1 - e2 + e3
此旋转再次将前两个元素在同一方向旋转，导致总旋转 180 度。它还恢复了 e3。
一般而言，你使用夹心旋转在 G3 中旋转向量
v’ = RvR*
其中 R* 是 R 的共轭。
实际上，你将向量旋转两次，每个旋量提供一半的旋转。
这可以推广到任何多向量 V
V’ = RVR*
特别是，可以旋转旋量。结果是两次旋转的总和。