几何代数物理学/数学介绍

数系

几何代数是数系的一个例子。特别是，它是一个数学家称为域上的代数的例子。但由于本书并非专门为数学家撰写，因此本页旨在解释这到底意味着什么，对数系是什么以及如何构建数系有一个总体印象，并展示几何代数在其中的位置。你可能已经了解了本节中的大部分内容，这里主要为了比较而给出，但以这种方式呈现可能会引发一些有趣的问题。

也许最基本的数系是自然数或计数数。这是我们熟悉的数字集 0、1、2、3 等。自然数的一个基本属性是，对于每个自然数 *n*，都存在一个自然数 *n* + 1（它永远不等于 *n*）位于它之后。由于无论 *n* 多大，这都是正确的，因此自然数有无限多个。我们将紧随 *n* 之后的第一个数字称为 *n* 的后继者。这个性质是自然数的基本性质之一的原因是，任何自然数都可以用后继函数对 0 应用若干次来表示。事实上，如果你有另一个事物集合，其中每个事物都有一个后继者，并且只有一个事物不是任何其他事物的后继者，那么你的事物集合就可以与自然数相对应 - 只需将不是任何事物后继者的那个事物称为 0，然后从那里开始。后继运算很重要的另一个原因是，加法和乘法的基本运算可以简化为它。两个自然数 *a* 和 *b* 的和是 *a* 的第 *b* 个后继者。同样，*a* 和 *b* 的积是 *a* 与自身相加 *b* 次的结果。*a* 的 *b* 次方以类似的方式定义，即 *a* 与自身相乘 *b* 次的结果。

我们引入的加法和乘法运算有一些重要的共同性质。如果你将三个数字相加，则无论你首先将第一个和第二个数字相加，然后将第三个数字加到你的结果中，还是首先将第二个和第三个数字相加，然后将你的结果加到第一个数字中，结果都是一样的。用方程式形式表示，即 ( *a* + *b* ) + *c* = *a* + ( *b* + *c* )。相应的陈述对于乘法也是正确的。也就是说，*a*( *bc* ) = ( *ab* )*c*。这称为结合律，因为它说明了项（或因子）的结合顺序无关紧要。结合律的两种形式对所有自然数 *a*、*b* 和 *c* 都成立。对变量的所有值都成立的陈述称为恒等式，数学家有时说它是恒等成立的或恒等成立的。这可能令人困惑，因为它与恒等的日常定义相冲突，但意义通常在上下文中很清楚。

加法和乘法另一个重要的恒等式是交换律，它说明加（或乘）两个数字的顺序无关紧要。也就是说，对于所有自然数 *a* 和 *b*，*a* + *b* = *b* + *a* 以及 *ab* = *ba*。此外，对于所有自然数 *a*，0 + *a* = *a* + 0 = *a* 以及 1*a* = *a*1 = a。因此，0 称为加法的单位元，1 称为乘法的单位元 - 这是对恒等的另一种理解。将乘法与加法联系起来的另一个重要恒等式是分配律，它说明对于所有自然数 *a*、*b* 和 *c*，*a*( *b* + *c* ) = *ab* + *ac*。

在最近的过去，数学家开始研究具有某些或所有这些性质（包括我们稍后将要讨论的性质）的“数字”集合，并为某些属性组合想出了名称。任何具有满足结合律且具有单位元的运算的元素集合称为幺半群。特别是，自然数与加法一起构成了一个称为（由于很明显的原因）交换幺半群。自然数与乘法一起也构成了一个交换幺半群，但类型有所不同。要了解差异，请注意，任何自然数都可以通过将 1 和 0 以各种组合相加来形成，但没有（有限的）数字集，你可以使用类似的乘法方式来构建所有自然数。但是，确实存在具有此属性的无限集 - 例如，包含 0、1 和所有素数的集合。

逆元和群

关于自然数，我们可以提出的最基本的问题之一是：给定两个自然数 *a* 和 *b*，什么数字与 *a* 相加可以得到 *b*？我们称之为一对 ( *a*，*b* ) 的减法问题。对于给定的一对 ( *a*，*b* )，满足减法问题的自然数永远不会超过一个；如果存在，我们称该数字为 *b* - *a*。例如，问题“什么数字与 6 相加可以得到 13？”的答案是 13 - 6 = 7。但是，假设我们问“什么数字与 12 相加可以得到 9？”没有答案。在我们刚刚构建的集合中，没有一个数字 *n* 具有 12 + *n* = 9 的性质。但假设有这样一个数字。如果它服从与自然数相同的规则，我们将能够说它也满足 20 + *n* = 17，因为 9 = 9，因此 8 + 9 = 8 + 9 - 但 12 + *n* = 9，所以 8 + ( 12 + *n* ) = 8 + 9。使用结合律，我们可以证明这意味着 ( 8 + 12 ) + *n* = 8 + 9，所以，由于我们知道 8 + 12 是 20 并且 8 + 9 是 17，所以 20 + *n* = 17。通过以相反的方式运行相同类型的推理，我们可以证明我们的数字 *n* 必须也满足 3 + *n* = 0。因此，从符号上来说，我们可以说我们的数字是 0 - 3，因为它解决了我们对 3 和 0 的原始问题，就像 13 - 6 = 7 解决对 6 和 13 的问题一样。通常，我们会省略 0 并将此数字写成 -3。通过将所有大于 0 的自然数 -*n* 添加到我们的集合中，我们最终得到了减法问题的解决方案，不仅对于 ( *n*，0 ) 对，而且对于我们新集合中的所有数字对 ( *a*，*b* )。（注意，我们不必添加 -0，因为减法问题已经对 ( 0，0 ) 对有了解决方案 - 即 0。）

我们需要小心，确保我们所谈论的内容 - 整数集合 - 确实存在，并且我们能够在这些新数字集合上以有意义的方式定义加法和乘法。（当然，整数是一个众所周知的系统，你几乎肯定已经知道如何对它们进行加法和乘法，但这旨在作为演示和澄清。）有一种方法是通过满足减法问题的数字对的集合来表示数字。我们通过制定一组规则来做到这一点，这些规则告诉我们两个对是否表示相同的数字 - 数学家称为等价关系。在这种情况下，我们会说 ( *a*，*b* ) 对与 ( *c*，*d* ) 对等价当且仅当 ( *a* + *d* = *b* + *c* )。然后，将 *b* - *a* 写成与 ( *a*，*b* ) 相关的对集，我们通过我们想要遵循的规则来定义加法和乘法：（ *b* - *a* ) + ( *d* - *c* ) = ( *b* + *d* ) - ( *a* + *c* ) 以及 ( *b* - *a* )( *d* - *c* ) = ( *ac* + *bd* ) - ( *ad* + *bc* )。现在，我们所要做的就是为每个自然数 *n* 命名集合 *n* 和 -*n*，这很简单 - 只需让 *n* 是我们一直称为 *n* - 0 的对集，而 -*n* 是对集 0 - *n*。（你能看到这一切是如何组合在一起的吗？提示：尝试画一张图。）

我们的新数字集合，与加法一起，具有一个新的重要属性 - 每个整数都有一个逆元，或者说一个可以与它相加得到单位元（即 0）的数字。具有此属性的幺半群称为群 - 这个名称可能令人困惑，尤其是因为群的日常意义与数学定义不同，并没有与之相关的结构概念。像整数这样的交换群也称为阿贝尔群，以数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔的名字命名。

关于整数，我们可以提出的一个问题是乘法的减法问题等价问题：除法问题。给定一对整数 ( *a*，*b* )，它询问什么数字与 *a* 相乘可以得到 *b*。我们称 *a* 和 *b* 这对的除法问题的答案（如果存在）为 *b*/ *a*。如果我们像对待自然数的减法问题一样对待除法问题，我们最终会得到一个新的数字集合，即有理数集合，其中除了 0 之外的每个数字都具有一个乘法逆元 1 / *a*。像有理数这样的集合，与加法运算一起构成一个阿贝尔群，与乘法运算一起构成一个非零元素集构成一个群，称为域。

幅度和连续统

我们将自然数扩展到整数，再扩展到有理数的过程，是一个抽象和概括的过程：如果一个方程有解，并且满足我们已经学过的关于数字的规则，那么它必须具有一定的性质。一旦我们知道了它必须具有的所有性质，我们就可以构建一个新的数字集合，在这个集合中它确实存在。我们可以把这个过程进行得更深入。有些方程无法用有理数解出，例如 $x^{2}=2$。在将无理数引入我们的体系时，让我们比严格要求的更进一步，允许所有具有小数展开式的数字作为我们集合的一部分，我们将这个集合称为实数。实数具有一些有趣的性质：每个正实数都有一个实根（任意阶）和一个实对数，而且它们是完备的，这意味着对于每个实数集合，你都可以找到一个确切的数字，它大于集合中的所有其他数字，并且小于具有这种性质的所有其他数字。你不能对所有有理数集合都这样做——例如，对于集合 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ..., 这个集合包含无限多个接近 $\pi$ 的数字。它们最有趣的性质之一是，你可以将一条直线上每一个点分配给一个确切的实数，并覆盖整条直线。不知不觉，在这个抽象和概括的过程中，数字从我们用来计数的工具，转变为我们用来描述形状的工具，而这正是几何代数的基础概念。

复数

复数可以被看作平面上的点。

如你所知，实数并不是故事的结尾。仍然有一些方程无法用任何实数解出，例如 $x^{2}=-1$。为了解出这样的方程，我们将引入一个数字 $i={\sqrt {-1}}$。我们用 $i$ 构建的新的数字集合，它包含所有形式为 $a+bi$ 的数字，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，被称为复数。 $i$ 是一个非常了不起的发明。首先，它是我们必须跨越的最后一个障碍——每个代数方程在复数域中都有解。因此，我们说复数是代数封闭的。

由于复数不像我们讨论过的其他数字集合那么熟悉，所以我会简要介绍一下如何使用它们。要找到两个复数的和，我们使用分配律以及加法的结合律和交换律

$(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=a+c+bi+di=(a+c)+(b+d)i$.

要找到它们的积，我们使用分配律以及 $i^{2}=-1$ 的事实

$(a+bi)(c+di)=a(c+di)+bi(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i$.

找到两个复数的差很简单，只要记住将负号分配给数字的两部分，但除法要复杂一些。你必须使用一个小技巧将分数的底部分变成一个实数

${\frac {a+bi}{c+di}}=\left({\frac {a+bi}{c+di}}\right)1=\left({\frac {a+bi}{c+di}}\right)\left({\frac {c-di}{c-di}}\right)={\frac {(ac+bd)+(-ad+bc)i}{(c^{2}+d^{2})-(cd-cd)i}}=\left({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\right)+\left({\frac {-ad+bc}{c^{2}+d^{2}}}\right)i$.

两个复数的加法可以通过构建平行四边形来进行几何表示。

2+i（蓝色三角形）和 3+i（红色三角形）的乘法。将红色三角形旋转到与蓝色三角形的顶点一致，然后按√5（蓝色三角形斜边的长度）的比例进行拉伸。

我们将复数 $c-di$ 称为 $c+di$ 的共轭复数，它是我们在分式技巧中需要在分子和分母上乘以的数。

类似于实数，复数也有自然的几何解释 - 它们可以被看作平面上的点。复平面的标准表示是将实数轴水平放置，并将实数倍的 $i$ 轴垂直放置，$i$ 在实数轴上方，$-i$ 在实数轴下方。从几何上看，两个复数的和可以与两个向量的和一样构建 - 画一个平行四边形，其中两条边从原点（即 0）到要加的两个数。平行四边形与原点相对的点是这两个复数的和。乘法的规则稍微复杂一些：首先，为每个要乘的数构建一个直角三角形，其中一个顶点在原点，一个在复数的端点，一个在实轴上（在表示复数实部的点处）。旋转其中一个三角形，直到与实轴平行的边与另一个三角形的斜边平行，然后将其按另一个三角形的斜边长度进行缩放。该三角形的顶点表示这两个复数的积。

当我们将复数解释为平面上的点（或向量）时，引入绝对值的概念就很有意义，我们将像对实数那样精确地定义它：一个数到 0 的距离。复数的绝对值也称为它的模数。注意，这里有一个复杂之处：大多数情况下，复数位于对角线上，因此我们必须使用勾股定理来找到这个距离。例如，

$|1+i|={\sqrt {(1)^{2}+(1)^{2}}}={\sqrt {2}}$.

共轭复数在这里非常有用。正如我们在除法规则中所看到的，复数与其共轭的积总是实数。更重要的是，它等于复数绝对值的平方。因此，我们可以简单地将复数乘以其共轭，然后取平方根来找到其绝对值。下面是关于为什么这种方法在代数上有效的简短演示

$(a+bi)(a-bi)=a(a-bi)+bi(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b^{2}(-1)=a^{2}+b^{2}$.

看看你是否能够自己想出几何证明。注意，取一个数的共轭复数相当于将其在实轴上进行反射。