几何代数物理/相对论经典力学/洛伦兹变换

洛伦兹变换是一种线性变换，它保持了双向量的长度。洛伦兹变换包括旋转和提升作为适当的洛伦兹变换，以及反射和非正时变换作为不适当的洛伦兹变换。

一个适当的洛伦兹变换可以写成旋量形式：

$p\rightarrow p^{\prime }=LpL^{\dagger },$

其中旋量 $L$ 满足单模条件：

$L{\bar {L}}=1$

在 $Cl_{3}$ 中，旋量 $L$ 可以写成双向量的指数：

$L_{{}_{}}=e^{W}$

旋转

如果双向量 $W$ 仅包含一个双向量（$Cl_{3}$ 中的复向量），则洛伦兹变换是在双向量平面上的旋转：

$R=e^{-i{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\theta }}}$

例如，以下表达式表示一个旋转器，它在方向 $\mathbf {e} _{3}$ 周围应用了一个旋转角 $\theta$，按照右手定则：

$R=e^{-{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{12}}=e^{-i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}},$

将该旋转子应用于沿 $\mathbf {e} _{1}$ 的单位向量，得到了预期的结果。

$\mathbf {e} _{1}\rightarrow e^{-i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{1}e^{i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}}=\mathbf {e} _{1}e^{i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}}e^{i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}}=\mathbf {e} _{1}e^{i\theta \mathbf {e} _{3}}=\mathbf {e} _{1}(\cos(\theta )+i\mathbf {e} _{3}\sin(\theta ))=\mathbf {e} _{1}\cos(\theta )+\mathbf {e} _{2}\sin(\theta )$

旋转子 $R$ 具有两个基本性质。它被称为单模和酉，使得

• 单模: $R{\bar {R}}=1$
• 酉: $RR^{\dagger }=1$

对于旋转子，共轭和反转具有相同的效果。

${\bar {R}}=R^{\dagger }.$

Boost

如果双向量 $W$ 只包含一个实向量，那么洛伦兹变换就是沿着相应向量方向的Boost。

$R=e^{{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\eta }}}$

例如，以下表达式表示沿着 $\mathbf {e} _{3}$ 方向的Boost。

$B=e^{{\frac {1}{2}}\eta \,\mathbf {e} _{3}},$

其中实标量参数 $\eta$ 是快度。

Boost $B$ 被认为是

• 单模：$B{\bar {B}}=1$
• 实数：$B^{\dagger }=B$

洛伦兹变换作为旋转和增强变换的组合

一般来说，适当洛伦兹变换的旋量可以写成增强变换和转子的乘积

$L_{{}_{}}=BR$

增强因子可以提取为

$B={\sqrt {LL^{\dagger }}}$

并且转子是从 $L$ 的偶数等级中获得的

$R={\frac {L+{\bar {L}}^{\dagger }}{2\langle B\rangle _{S}}}$

根据所需的适当速度进行增强

静止粒子的适当速度等于 1

$u_{r_{}}=1$

任何适当的速度，至少是瞬时的，都可以从静止粒子进行主动洛伦兹变换得到，因此

$u=Lu_{r_{}}L^{\dagger },$

可以写成

$u=LL^{\dagger }=BR(BR)^{\dagger }=BRR^{\dagger }B^{\dagger }=BB=B^{2},$

因此

$B={\sqrt {u}}={\frac {1+u}{\sqrt {2(1+\langle u\rangle _{S})}}},$

其中使用了单位长度参数向量的平方根的显式公式。

速率和速度

适当速度是增强变换的平方

$u=B^{2^{}},$

因此

$\gamma (1+{\frac {\mathbf {v} }{c}})=e^{\boldsymbol {\eta }},$

将速率重写为其大小与其相应单位向量乘积的形式

${\boldsymbol {\eta }}=\eta {\hat {\boldsymbol {\eta }}}$

指数可以展开为

$\gamma +\gamma {\frac {\mathbf {v} }{c}}=\cosh(\eta )+{\hat {\boldsymbol {\eta }}}\sinh(\eta ),$

因此

$\gamma _{{}_{}}=\cosh {\eta }$

以及

$\gamma {\frac {\mathbf {v} }{c}}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}\sinh(\eta ),$

由此可见，在非相对论极限下，速率变为速度除以光速

${\frac {\mathbf {v} }{c}}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}\eta$

应用于双向量上的洛伦兹变换

应用于双向量的洛伦兹变换与应用于对向量的洛伦兹变换形式不同。考虑一个用对向量表示的通用双向量

$\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}\rightarrow \langle u^{\prime }{\bar {v}}^{\prime }\rangle _{V}$

将洛伦兹变换应用于分量对向量

$\langle u^{\prime }{\bar {v}}^{\prime }\rangle _{V}=\langle LuL^{\dagger }\,\,{\overline {LvL^{\dagger }}}\rangle _{V}=\langle LuL^{\dagger }\,{\bar {L}}^{\dagger }{\bar {v}}{\bar {L}}\rangle _{V}=\langle Lu{\bar {v}}{\bar {L}}\rangle _{V}=L\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}{\bar {L}},$

因此，如果 $F$ 是一个双向量，则洛伦兹变换由下式给出

$F\rightarrow F^{\prime _{}}=LF{\bar {L}}$