使用几何代数的物理学/相对论经典力学/时空位置

时空位置 $x$ 可以用一个超向量编码

$x=x^{0}+\mathbf {x} ,$

其中时空位置的标量部分用时间表示

$x^{0}=ct_{{}_{}}.$

固有速度 $u$ 定义为时空位置对固有时间 $\tau _{{}_{}}$ 的导数

$c\,u={\frac {dx}{d\tau }}$

固有速度可以用速度表示

$c\,u={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}=\gamma \left(1+{\frac {d\mathbf {x} }{dx^{0}}}\right)=\gamma \left(1+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right),$

其中

$\gamma ={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}}}$

当然还有

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}.$

固有速度是单模的

$u{\bar {u}}=1$

时空动量

时空动量是一个用固有速度定义的超向量

$p_{{}_{}}=mcu$

时空动量包含能量作为标量部分

$p=mc(\gamma +\gamma {\frac {\mathbf {v} }{c}})={\frac {E}{c}}+\mathbf {p} ,$

其中能量 $E$ 定义为

$E_{{}_{}}=\gamma mc^{2}$

时空动量的壳条件是

$p{\bar {p}}=(mc)^{2}$