使用几何代数的物理学/相对论经典力学/经典旋量

适当的速度可以用相关的洛伦兹变换旋量来表示，称为特征旋量。

特征旋量的本征时间导数可以用时空旋转双向量$\Omega$表示为

${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {1}{2}}\Omega \Lambda$

时空旋转双向量包含粒子所受相互作用的信息。

经典粒子的动力学可以用包含特征旋量的微分方程来表示。

${\frac {dp}{d\tau }}=mc{\frac {d}{d\tau }}(\Lambda \Lambda ^{\dagger })=mc({\frac {d\Lambda }{d\tau }}\Lambda ^{\dagger }+\Lambda {\frac {d\Lambda ^{\dagger }}{d\tau }}),$

使用时空旋转双向量的定义

$mc{\frac {1}{2}}(\Omega \Lambda \Lambda ^{\dagger }+\Lambda \Lambda ^{\dagger }\Omega ^{\dagger })=mc\langle \Lambda \Omega \rangle _{\Re {}},$

最终得到动力学方程

${\frac {dp}{d\tau }}=mc\langle \Omega \Lambda \rangle _{\Re {}},$

其中力的作用现在由时空旋转双向量来扮演。

一旦时空旋转被识别为电磁力，结果就是洛伦兹力的旋量形式。

${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda$

恒定电场

洛伦兹力的特征旋量形式可以在许多有趣的情况下解析求解。最简单的情况之一是恒定电场的情况。如果电场沿着 z 方向，要解的方程是

${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}E\mathbf {e} _{3}\Lambda$

解为

$\Lambda =e^{{\frac {e}{2mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }\Lambda _{0}.$

适当的速度计算为

$u=e^{{\frac {e}{2mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }u_{0}e^{{\frac {e}{2mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }.$

如果粒子从静止开始，那么适当的速度就简化为

$u=e^{{\frac {e}{mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }.$

进一步积分得到时空位置

$x=x_{0}+{\frac {mc^{2}}{eE}}\mathbf {e} _{3}(e^{{\frac {e}{mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }-1)$