使用几何代数的物理学/相对论经典力学/电磁场

电磁场根据电场和磁场定义为

$F=\mathbf {E} +ic\mathbf {B} .$

或者，可以从向量势$A$导出场，为

$F=c\left\langle \partial {\bar {A}}\right\rangle _{V+BV},$

其中

$\partial ={\frac {\partial }{\partial x^{0}}}-\nabla$

和

$A=\phi /c+\mathbf {A} .$

洛伦兹规范

洛伦兹规范（无 t）表示为

$\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{S}=0$

电磁场$F$在规范变换下仍然是不变的

$A\rightarrow A^{\prime }=A+\partial \chi ,$

其中$\chi$是一个标量函数，它满足以下条件

${\bar {\partial }}\partial \chi =0$

其中

${\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial x^{0}}}+\nabla$

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组可以用一个方程表示

${\bar {\partial }}F={\frac {1}{c\epsilon }}{\bar {j}},$

其中电流$j$是

$j=\rho c+\mathbf {j}$

将其分解为各部分，我们有：

• 实标量：高斯定律
• 实向量：安培定律
• 虚标量：没有磁单极子
• 虚向量：法拉第电磁感应定律

电磁拉格朗日量

给出麦克斯韦方程的电磁拉格朗日量为：

$L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}$

能量密度和坡印廷矢量

能量密度和坡印廷矢量可以从以下公式提取：

${\frac {\epsilon _{0}}{2}}FF^{\dagger }=\varepsilon +{\frac {1}{c}}S,$

其中，能量密度为：

$\varepsilon ={\frac {\epsilon _{0}}{2}}(E^{2}+c^{2}B^{2})$

而坡印廷矢量为：

$S={\frac {1}{\mu _{0}}}E\times B$

洛伦兹力

电磁场充当时空旋转的角色，其中：

$\Omega ={\frac {e}{mc}}F$

洛伦兹力方程变为：

${\frac {dp}{d\tau }}=\langle Fu\rangle _{V}$

或者等效地：

${\frac {dp}{dt}}=\langle F(1+v)\rangle _{V}$

而洛伦兹力在旋量形式下的表示为：

${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda$

洛伦兹力拉格朗日量

给出洛伦兹力的拉格朗日量为：

${\frac {1}{2}}mu{\bar {u}}+e\langle {\bar {A}}u\rangle _{S}$

平面电磁波

传播副向量定义为：

$k={\frac {\omega }{c}}+\mathbf {k} ,$

这是一个零副向量，可以用单位向量 $\mathbf {k}$ 来表示：

$k={\frac {\omega }{c}}(1+\mathbf {\hat {k}} ),$

产生左旋圆偏振平面波的矢量势是

$A=e^{is\mathbf {\hat {k}} }\mathbf {a} ,$

其中相位为

$s=\left\langle k{\bar {x}}\right\rangle _{S}=\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x}$

而 $\mathbf {a}$ 定义为垂直于传播向量 $\mathbf {k}$。此矢量势满足洛伦兹规范条件。右旋螺旋度可以通过相位的相反符号获得

此矢量势的电磁场计算为

$F=ickA_{{}_{}},$

它是一个幂零量

$FF_{{}_{}}=0$