微积分物理学/附录 1/导数

我们定义导数为函数在变量变化趋近于零时，函数变化量与变量变化量的比值的极限。

即

${\begin{matrix}{df \over dx}=\lim _{\Delta x\to 0}{{f(x+\Delta x)-f(x)} \over {\Delta x}}\end{matrix}}$

一个例子

发现量 B 依赖于量 A，使得 B 始终为 A 的平方。

A ..... B 在这种情况下，x=A，f(x) 是 [x 的函数] = B。看一下 A=2 时的情况（例如）。

0 ..... 0 在 x=2 时 f(x)=4。将 x 微小地改变，仅改变 0.01，我们有 delta x=0.01，因此 x+delta x 为 2.01。

1 ..... 1 然后 (x+delta x) 的函数 = 2.01 的函数 = 2.01 的平方 = 4.0401。f(x+delta x) 和 f(x) 之间的差

2 ..... 4 为 4.0401 和 4。它是 0.0401。用 delta x 除它，我们得到 0.0401/0.01，也就是 4.01，这意味着

3 ..... 9 函数的变化量除以 x 的变化量在 x=2 时接近 4。如果我们让 delta x 更小得多

等等 ..... 我们将得到恰好 4，这恰好是 x=2 时 x 的 2 倍

• 一般来说，如果我们有一个 x 的多项式，例如 $x^{3},x^{4},$ 等等，那么导数如下所示

  $f(x)=x^{n};{\frac {df(x)}{dx}}=nx^{n-1}$

  其中 ${\frac {df(x)}{dx}}$ 是 f 对 x 的导数的符号。