微积分物理学/附录 2/导数示例

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运动

对于 x(t)，位置作为时间的函数

速度：位置相对于时间的变化率

${\begin{matrix}\mathbf {v} (t)=f'(t)={dx \over dt}\end{matrix}}$

加速度：速度相对于时间的变化率

${\begin{matrix}\mathbf {a} (t)=\mathbf {v} '(t)=f''(t)={d^{2}x \over dt^{2}}\end{matrix}}$

加加速度：加速度相对于时间的变化率

${\begin{matrix}\mathbf {j} (t)=\mathbf {a} '(t)=f'''(t)={d^{3}x \over dt^{3}}\end{matrix}}$

加加速度在一年级运动中不常用。它的主要应用是在处理大型物体在由于质量变化而移动时改变重量的运动中。一个例子可能是从静止状态向上飞行的火箭。当它燃烧燃料时，它的重心发生变化，因此它的加速度不是恒定的（违反了牛顿第二定律）。

力学（静力学）

给定梁的加载细节，我们可以在梁的图上用箭头表示力，弯曲箭头表示力矩（对扭矩的抵抗），阴影区域表示普遍变化或分布式载荷。我们可以使用这个图（通常称为自由体图）以及其中包含的信息来绘制表示梁中剪力 (V) 的图，并且还可以推导出表示它们的方程。该方程可能不像多项式那么简单，并且通常是一系列连续函数，在梁上力发生的点处具有端点。

我们可以对梁的这些段进行不定积分，以获取更多关于它的信息。不定积分组合形成梁的弯矩图。弯矩是一种特殊的力矩，因为梁最有可能在弯矩处于相对极值的地方发生故障。根据定义，任何不定积分都将包含一个常数，C。在弯矩图的情况下，我们的 C 只是前一段的端点。唯一的例外是当我们有一个力矩时，我们根据方向添加或减去它的值。

因此，对弯矩模型求导将给出剪力。

对剪力模型求导将使我们回到加载图，而对加载图求导将给出梁在加载下挠度的形状。

对于任何弯矩模型 b，作为距离梁端部 x 的函数，

${\begin{matrix}b'(x)&=&V(x)\\b''(x)&=&V'(x)&=&\operatorname {FBD} (x)\\b'''(x)&=&\operatorname {FBD} '(x)&=&f(x)\end{matrix}}$

其中 f(x) 是一个描述梁挠度的函数。