带微积分的物理学/电磁学/电磁感应

电磁感应是指导体在磁场中运动时产生的电压。

迈克尔·法拉第通常被认为是 1831 年发现感应现象的人。在 1830 年左右^[1]到 1832 年^[2]，约瑟夫·亨利也做出了类似的发现，但他直到后来才发表了他的发现。

细节

法拉第发现，在闭合路径周围产生的电动势 (EMF) 与通过该路径包围的任何表面的磁通量变化率成正比。

在实践中，这意味着当通过导体包围的表面的磁通量发生变化时，任何闭合电路中都会感应出电流。无论磁场本身强度发生变化还是导体在磁场中移动，都适用。

电磁感应是发电机、所有电动机、变压器、感应电机、同步电机、螺线管以及大多数其他电机运作的基础。

法拉第电磁感应定律|法拉第电磁感应定律指出

{\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt},

因此

{\mathcal {E}}

是以伏特为单位的电动势 (emf)

Φ_B 是以韦伯 (Wb)|韦伯为单位的磁通量

对于由 N 个具有相同面积的环组成的常见但特殊的线圈，法拉第电磁感应定律指出

{\mathcal {E}}=-N{{d\Phi _{B}} \over dt}

其中

{\mathcal {E}}

是以伏特为单位的电动势 (emf)

N 是导线的匝数

Φ_B 是以韦伯 (Wb)|韦伯为单位的穿过单个回路的磁通量。

法拉第定律的一个推论，连同安培定律和欧姆定律一起构成了楞次定律

感应在电路中的电动势总是以这样的方向作用，即它驱动的电流阻碍产生电动势的磁通量的变化。

楞次定律中提到的方向可以被认为是上述公式中负号的结果。

法拉第电磁感应定律|法拉第电磁感应定律指出，感应电动势是穿过导电回路的磁通量随时间的负变化率。

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt},$

其中 ${\mathcal {E}}$ 是以伏特为单位的电动势 (emf) 以及 Φ_B 是以韦伯 (Wb)|韦伯为单位的磁通量。对于面积为 A、以角速度 $\omega$ 旋转的恒定面积回路，在均匀磁场 B 中，磁通量由下式给出

$\Phi _{B}=B\cdot A\cdot \cos(\theta ),$

其中 θ 是回路法线和磁场方向之间的夹角。由于回路以恒定速率 ω 旋转，所以角度随时间线性增加，θ=ωt，并且磁通量可以写成

$\Phi _{B}=B\cdot A\cdot \cos(\omega t).$

对通量关于时间求负导数得到电动势。

${\mathcal {E}}=-{\frac {d}{dt}}\left[B\cdot A\cdot \cos(\omega t)\right]$	用导数表示的电动势
$=-B\cdot A{\frac {d}{dt}}\cos(\omega t)$	将常数 (A 和 B) 放在导数之外
$=-B\cdot A\cdot (-\sin(\omega t)){\frac {d}{dt}}(\omega t)$	应用链式法则并对外函数（余弦）进行微分
$=B\cdot A\cdot \sin(\omega t){\frac {d}{dt}}(\omega t)$	消去两个负号
$=B\cdot A\cdot \sin(\omega t)\omega$	计算剩余的导数
$=\omega \cdot B\cdot A\sin(\omega t).$	化简。