带微积分的物理学/电磁学/场能

取自： https://en.wikipedia.org/wiki/Electrostatics#Electrostatic_energy

单个 测试粒子的势能，$U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}$，可以从 线积分计算工作，$q_{n}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}$。我们从无穷远点积分，并假设一个集合 $N$ 个电荷为 $Q_{n}$ 的粒子，已经位于点 ${\vec {r}}_{i}$。这种势能（以 焦耳为单位）是

$U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}=q\phi ({\vec {r}})={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {Q_{i}}{\left\|{\mathfrak {\vec {r}}}_{i}\right\|}}$

其中 ${\vec {\mathfrak {r}}}_{i}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{i},$ 是每个电荷 $Q_{i}$ 到 测试电荷 $q$ 的距离，该测试电荷位于点 ${\vec {r}}$，而 $\phi ({\vec {r}})$ 是如果不存在 测试电荷，则在 ${\vec {r}}$ 处的电势。如果只有两个电荷存在，则势能为 $k_{e}Q_{1}Q_{2}/r$。由 N 个电荷集合产生的总 电势能 是通过 一次组装一个 这些粒子来计算的

$U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}Q_{j}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {Q_{i}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\phi _{i},$

其中，从 *j = 1* 到 *N* 的求和不包括 *i = j*。

$\phi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1(j\neq i)}^{N}{\frac {Q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.$

这个电势，$\phi _{i}$ 是在 ${\vec {r}}_{i}$ 处测量的，如果电荷 $Q_{i}$ 不存在。这个公式显然不包括组装每个点电荷所需的（无限）能量，这些电荷是从一个分散的电荷云中组装起来的。可以使用处方 $\sum (\cdots )\rightarrow \int (\cdots )\rho \mathrm {d} ^{3}r$ 将电荷的求和转换为对电荷密度的积分。

$U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{2}}\int \rho ({\vec {r}})\phi ({\vec {r}})\operatorname {d} ^{3}r={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\operatorname {d} ^{3}r$,

这个 静电能 的第二个表达式利用了电场是电势负 梯度 的事实，以及以类似于 分部积分 的方式使用 向量微积分恒等式。这两个电场能量积分似乎表明了静电能密度的两个相互排斥的公式，即 ${\frac {1}{2}}\rho \phi$ 和 ${\frac {\varepsilon _{0}}{2}}E^{2}$；只有当两者都对整个空间积分时，它们才对总静电能产生相同的值。