带微积分的物理/电磁学/高斯定律

基本理论

高斯定律将包含在体积内的电荷量与穿过该体积表面上的电通量联系起来。它是由18世纪的数学家卡尔·弗里德里希·高斯提出的。电通量只能真正用数学来描述，但它也具有直观的意义。从本质上讲，电通量是穿过表面的“电场”量。想象一个浸在流动的河流中的笼子，笼子是网状的，以便水能够相当不受阻碍地流过它。“通量”是在任何一个时刻穿过笼子表面的水量。在本讨论中，我们不关心随时间变化的电场，因此认为电通量在时间上是恒定的。

在使用高斯定律时，我们创建了一个称为“高斯面”或简称“高斯”的东西。高斯是一个完全封闭的假想表面。

电通量（通量：场线流动）Φ：有多少场穿过表面S。均匀场（平行场线）Φ=E A cos (theta) 其中theta是场线方向与表面法线方向之间的夹角。

   $\Phi _{f}=\int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dA}$

其中F是矢量场，dA是表面S的面积元素，方向为表面法线，Φf是得到的通量。对于包围场发生器的表面

高斯定律

   $\Phi =\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \cdot dV={\frac {Q_{A}}{\epsilon _{o}}}$

其中$\mathbf {E}$是电场，$d\mathbf {A}$是闭合表面上微小正方形的面积$S$表面法线向外定义其方向，$\mathrm {Q} _{A}$是被表面包围的电荷，$\rho$是V中某一点处的电荷密度$V$, $\epsilon _{o}$是自由空间的介电常数，$\oint _{S}$是在包围体积的表面上的积分$S$包围体积$V$.