带微积分的物理/电磁学/麦克斯韦方程

因此，为了统一我们到目前为止关于电和磁的所有内容，我们将把麦克斯韦方程一起写出来。麦克斯韦方程一起描述了所有经典电动力学。

首先我们有高斯定律

$\oint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {A}}={\frac {Q_{encl}}{\epsilon _{0}}}$.

磁场的高斯定律是

$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {A}}=0$.

安培定律是

$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {s}}=\mu _{0}I_{encl}$.

最后，法拉第定律是

$\oint _{C}{\vec {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$.

然而，想象一个平行板电容器。如果我们在导线上应用安培定律，并取一个表面使导线穿过它，我们会得到一个答案。但是，如果我们取一个表面使它穿过平行板之间，我们得到表面积分是 0！我们必须修改我们的定律。麦克斯韦增加了一个术语，它本质上意味着当电荷累积时，电流已经流入——电荷守恒。这表现为安培定律中的一个新项（你实际上可以证明为了使电荷守恒，这是唯一合法的和可测量的项）

$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {s}}=\mu _{0}I_{encl}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {d\Phi _{E}}{dt}}$.

看看这些方程；有两个轮廓积分方程和两个曲面积分方程。安培-麦克斯韦定律和法拉第定律都包含相反场通量的导数。不难想象，如果我们有磁荷，麦克斯韦方程将是完全对称的，直到项前面的常数。

此外，我们可以将格林定理应用于麦克斯韦方程，并获得它们的另一种形式

$\nabla \cdot E={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla \cdot B=0$

$\nabla \times E+{\frac {\partial B}{\partial t}}=0$

$\nabla \times B-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}=\mu _{0}J$.

亥姆霍兹定理指出，一个函数由它的散度、旋度和适当的边界条件唯一定义。如果我们对该定理稍加修改，我们可以证明麦克斯韦方程完全指定了所有电磁现象。