带微积分的物理学/电磁学/电压

为了发展电势（或电压），从原点处单个点电荷 Q，电荷为 q 开始。电场为

$E={\frac {kQ}{r^{2}}}{\hat {r}}$.

该函数的旋度很容易证明为零，根据矢量微积分中的一个著名定理，如果一个函数的旋度在一个空间区域内消失，那么该函数可以写成一个标量的梯度。因此，存在一个标量场 $\phi$，使得

$E(\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} )$.

接下来我们找到场在将测试粒子 q 从点 $\mathbf {a}$ 移动到 $\mathbf {b}$ 时所做的功。y 力场 $\mathbf {F} =q\mathbf {E}$。如果你不了解矢量微积分，你可以跳过这一段，只记住结果，但我建议你学习矢量微积分（散度、梯度和旋度），因为所有电磁学都是用矢量微积分符号写成的。E 的旋度为零（你可以这样做）。这意味着 E 可以写成某个标量函数的梯度，我们称之为 $\phi$。根据微积分基本定理（对于梯度），

$\int q\nabla \phi (x,y,z)\cdot d{\mathbf {r} }=q\phi +C$,

其中 C 是一个任意常数。这表明电力的功仅仅是 $\phi$ 变化乘以电荷。这听起来应该很熟悉 - $q\phi$ 就是势能！我们在一个点上指定 $\phi$，它唯一地确定 $\phi$，这与为重力势能选择一个零完全相同。按照惯例，我们说 $\phi (\inf )=0$，但这并不总是真的，如果电荷延伸到无穷大。然而，这只发生在虚假的教科书问题中，因此在现实生活中，说 $\phi$ 在无穷远处下降到零总是安全的。我们可以选择一个参考点，因为我们只关心电势能的差异；没有物理方法来确定 C，所以我们不关心它是什么。

将此推广到除点电荷之外的任何东西都很容易。它只是许多点电荷的叠加，我们的结果对任何分布都成立。

现在，按照惯例，我们说 $\nabla \phi$ 是负 E，因为这意味着物体移动到更低的电势，并且它抵消了其他地方的负号。注意这一点，并跟踪你的负号。

为了将此应用于库仑定律，我们只需要对电场积分即可得到电势。我们加上一个负号作为约定，我们有，

$\phi _{pointsource}={\frac {kq}{r}}$.

多么简单。

使用电势有两个主要优势。第一个是它将在我们以后想要求解麦克斯韦方程时派上用场，但第二个原因是它是标量而不是矢量。记住一个分量比记住三个分量容易得多。你找到电荷分布的电势，然后求 E 场就和求导一样容易。

电势是一个有趣的东西，因为它是一个标量函数，但却能唯一地代表一个向量函数 E，而 E 的数字是它的三倍！这恰好是因为电场的三個分量并非独立的，因为它们是围绕点电荷径向对称的，所以旋度为零。这个约束条件恰好足以告诉我们，只需要一个数字就能代表 E 的所有三个分量。

我想指出，电势只能在电荷静止的情况下使用（无需修改）。如果它们移动，那么如果一个粒子绕圆周运动，它最终可能会比它之前拥有的能量更多！