带微积分的物理/导论/献给数学家

数学是一门美妙的学科。然而，数学家们往往只关注理论数学，但这本书可以帮助我们认识到数学的奇妙应用，在本例中是微积分。——M教授

虽然物理学通常被认为是“应用数学”课程，但物理学和数学之间的关系远比将数学应用于物理世界更有趣。在物理学和数学的发展过程中，一个领域里的创新往往会推动另一个领域里的新创新。一个有趣的例子是，当牛顿想要验证他的万有引力理论时，他发现了一个重大问题。他的 万有引力定律 计算了两个相互作用物体之间的力，就好像两个物体的所有质量都集中在物体中心的点上一样。牛顿面临着一个严重的问题。他如何证明一个扩展物体的全部质量真的可以被认为集中在该物体的中心点上？这需要一种新的数学方法，而 积分学 就应运而生了。这说明，从历史上看，发展数学的动机往往源于实际问题。往往要到后来，数学的所有理论方面才得以阐明。虽然牛顿通常被认为是微积分的发明者，但很明显，他往往更热衷于发展能够解决他科学问题的数学模型，然后用理论方法证明他的数学假设。将微积分建立在与几何学和其他数学分支一样坚实的理论基础上，则是由他之后的其他人完成的。

数学上的创新往往也会推动科学上的新发现。一个有趣的例子是 分形 的研究。当它们第一次被研究时，还没有任何实际用途，但现在物理学和其他科学领域在研究已知为 混沌 的系统时，都会用到它们。

那么，为什么数学家会想要学习物理学呢？这个问题的一个强有力的答案似乎是，它有助于人们洞察许多伟大思想家的思想。是什么激励了他们？他们在发展自己的思想时遇到了哪些挑战？他们往往会求助于数学作为表达他们的思想和解决他们的问题的语言。学习数学加强了科学家的工具，而学习科学则使我们对数学的理解更加丰富。