带微积分的物理/力学/质心

当你扔一个球时，球是由许多相互作用的原子组成的，它遵循抛物线轨迹绝非显而易见，即使单个粒子是如此。我们甚至如何理解球遵循抛物线轨迹？是否存在某个特殊的点来遵循？我们将证明确实存在一个特殊的点，称为质心，并且我们将证明牛顿定律从非常小到非常大都具有惊人的适用性。

令$r_{i}$ 为从原点到第 i 个粒子的向量。令$m_{i},v_{i},f_{i}$ 分别为第 i 个粒子的质量、速度和力。为了查看是否存在任何特殊的点，定义一个任意向量 R。现在，每个$r_{i}$ 可以写成$r_{i}'+R$。将牛顿第二定律应用于每个粒子，

$f_{i}=m_{i}{\frac {dv_{i}}{dt}}$.

但是

$v_{i}={\frac {dr_{i}'}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=v_{i}'+V$.

（最后一个等式仅仅是定义）。所以

$f_{i}=m_{i}{\frac {dv_{i}'}{dt}}+m_{i}{\frac {dV}{dt}}$.

求和，

$F=\sum _{i}f_{i}={\frac {d}{dt}}\sum _{i}m_{i}v_{i}'+M{\frac {dV}{dt}}.$

当求和的导数为零时，这将呈现出最简单的形式，实际上是粒子牛顿第二定律的形式。现在，当求和为常数时，导数为零。也就是说，

$\sum _{i}m_{i}{\frac {dr_{i}'}{dt}}=P$.

其中 P 是一个常数。因此，

$\sum _{i}m_{i}r_{i}'=Pt+C$

其中 C 是一个常数。代入 R 的定义，

$\sum _{i}m_{i}R-\sum m_{i}r_{i}=Pt+C$.

这等价于

$R={\frac {1}{\sum _{i}m_{i}}}\sum _{i}m_{i}r_{i}+{\frac {1}{\sum _{i}m_{i}}}Pt+{\frac {1}{\sum _{i}m_{i}}}C$.

我们不希望 R 依赖于时间，因此取 P = 0（这是允许的，因为 P 是积分常数）。由于 C 是任意的，并且我们想要最简单的形式，因此取 C = 0。虽然取它不为零没有太大害处，但它会非常麻烦。

因此，当

$R={\frac {1}{\sum _{i}m_{i}}}\sum _{i}m_{i}r_{i}$.

方程的形式变得特别简单时，我们将其定义为质心向量。它具有非常重要的性质，即整个系统遵循

$F=M{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}$

其中

$F=\sum _{i}f_{i}$

以及

$M=\sum _{i}m_{i}.$

也就是说，无论系统多么复杂，整个系统都表现得像一个位于质心的质量为 M 的单个粒子！

另一个有趣的性质来自于我们可以将作用在每个粒子上的力分解

$\sum f_{i}=\sum _{i}f_{i}^{external}+\sum _{i,j}f_{ij}$

其中 $f_{ij}$ 是第 j 个粒子对第 i 个粒子的作用力。根据牛顿第三定律，右侧的整个第二项求和抵消。因此，F 是外力的总和——静止的物体不能自行加速。质心的运动完全由外力决定。这有一些非常有趣但直观的结论。这意味着如果你在深空，无论你做什么，你都永远无法移动。同样，如果你在一个非常光滑的溜冰场上，除了扔东西之外，你什么也做不了。那么火箭是如何离开地球的呢？它们向后喷出废气——它留下了大量的质量，因此质心保持不变。

现在，我们刚刚证明了牛顿定律奇迹般地从单个粒子扩展到多个粒子。但是，如果你仔细想想，如果牛顿定律不扩展，他可能就不会发现这些定律——他是在观察大量粒子（例如弹珠或日常生活中任何物体）时发现了这些定律。事实上，定律的扩展几乎是一个必要条件！然而，虽然牛顿定律可以扩展，但它不必缩小。虽然如果它缩小，它会符合我们许多日常经验，但它并没有——非常小的领域是量子力学的领域。发现量子力学花费了这么长时间的原因是它不能扩展；随着所涉及的事物越来越大，其效应越来越小。