带微积分的物理学/力学/万有引力势能

基本方程

为了建立一个小物体在行星上方的万有引力势能的基本方程，让我们假设高度位移 h 比所涉及的行星半径小得多。我们还将假设势能 (PE) 在行星表面为 0。由此，我们得到

定义：基本万有引力势能方程

由于能量是力乘以距离，势能是力乘以高度距离

${\begin{aligned}PE&=F_{g}h\\&=mgh\\\end{aligned}}$

其中 PE 是势能，F_g 是万有引力，g 是重力加速度，h 是起点和终点之间的高度差，m 是移动物体的质量。

由于重力是保守力，势能的增加或减少与到达那里的路径无关。

真实方程

有时，上述方程不够。虽然当 h 比行星半径小得多时，这是一个方便的捷径，但存在一个无论涉及的高度或重力加速度的变化如何，都准确的方程。

假设一个物体移动，从距离行星中心 r₁ 的地方开始，移动到距离行星中心更远的 r₂ 的地方。万有引力做的功为

${\begin{aligned}W_{g}&={\frac {GMm}{r_{2}}}-{\frac {GMm}{r_{1}}}\\&=GMm\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)\\\end{aligned}}$

由于势能是功的负值，

${\begin{aligned}\Delta PE_{g}&=-W_{g}\\&=-GMm\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)\\\end{aligned}}$

势能的变化也可以写成起始时的势能减去结束时的势能。

$PE_{2}-PE_{1}=-GMm\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)$

万有引力势能的唯一可能的通用参考点是无穷远。换句话说

$\lim _{r_{2}\to \infty }PE_{2}=0$

这意味着该方程会稍微简化，因为 1 除以无穷大为 0

定义：万有引力势能的真实方程

$PE=-{\frac {GMm}{r}}$

这个方程是通用的，无论距离是长是短。但是，使用更简单的方程通常仍然更方便，因为它既不需要物体到所涉及的行星核心的距离，也不需要所涉及的行星的质量。

另一个证明

由于万有引力在上述示例中的位移过程中发生变化，因此该力所做的功是一个定积分

$dW={\vec {F}}dx\Rightarrow W=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}dx$

由于向内的万有引力与位移方向相反，我们得到

${\begin{aligned}{\vec {F}}dr&=-//Fdr\\&=-{\frac {GMm}{r^{2}}}dr\\\end{aligned}}$

将此代入原始方程

${\begin{aligned}W&=//\int _{r_{2}}^{r_{1}}{\vec {F}}dr\\&=\int _{r_{2}}^{r_{1}}-{\frac {GMm}{r^{2}}}dr\\&=GMm\int _{r_{2}}^{r_{1}}-{\frac {1}{r^{2}}}dr\\&=GMm\ ]_{r_{2}}^{r_{1}}\\&=-GMm\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)\\\end{aligned}}$

认识最后一步吗？（如果不是，稍微向上滚动）这将我们带回了引力势能的真实方程。

逃逸速度

为了让物体永久地远离地球，我们希望最终的引力势能变为零。然而，为了找到它的最小发射速度，我们希望当引力势能变为零时物体的速度也为零。这意味着最终的动能和引力势能都应该为零。由于能量守恒

${\begin{aligned}KE_{0}+PE_{0}&=KE+PE\\{\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GM_{E}m}{r_{E}}}&=0+0\\\end{aligned}}$

隔离 v

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}mv^{2}&={\frac {GM_{E}m}{r_{E}}}\\mv^{2}&={\frac {2GM_{E}m}{r_{E}}}\\v^{2}&={\frac {2GM_{E}}{r_{E}}}\\v&={\sqrt {\frac {2GM_{E}}{r_{E}}}}\\\end{aligned}}$

这就是逃逸速度的公式。代入 G、M_E 和 r_E 的值

${\begin{aligned}v&={\sqrt {\frac {2(6.67*10^{-11})(5.98*10^{24})}{6.37*10^{6}}}}\\&=1.12*10^{4}{\frac {m}{s}}\\\end{aligned}}$