带微积分的物理学/力学/万有引力
万有引力既是使物体坠落的力，也是使行星绕轨道运行的力，这似乎是显而易见的，但事实上，万有引力可以解释这两种运动，这可以追溯到 17 世纪的艾萨克·牛顿。他证明，坠落物体的加速度和月球绕轨道运行的加速度都可以用任何两个物体之间存在的吸引力来解释，该吸引力由以下公式给出：
其中 和 是两个物体的质量， 是它们之间的距离，G 是一个基本常数，后来测得等于 。负号表示万有引力是吸引力。
万有引力的一个有趣特征是，上述的引力质量 在数量上与出现在 中的惯性质量完全相同。阿尔伯特·爱因斯坦注意到了这种巧合，这使他得出了目前最成功的万有引力理论，即广义相对论。尽管万有引力看起来很简单，但在根本层面上，我们仍然没有理解它。广义相对论与称为标准模型的粒子物理学量子理论不兼容。许多物理学家试图建立一个万有引力量子理论，但尚未获得连贯的理论或经实验验证的预测。我们在本课程中学习的牛顿万有引力理论仍然是预测从星系到原子大小的物体的运动的有力工具，其中包括地球上大多数与日常生活相关的物体。在牛顿理论中，万有引力仅仅是物质的一种性质，它导致每个质量以上述给出的力吸引每个其他质量。
万有引力是一个保守力，这意味着将一个小物块从一个点移动到另一个点所做的功仅取决于终点，而与所走的路径无关。我将用一个点质量来证明这一点。有了这个结果，几乎很明显，任何质量排列的力也将是保守力。要看到这一点，请注意，万有引力是各部分之和，一个力所做的功是其各部分所做功的总和。因此，当一个测试粒子通过一个施加万有引力的粒子排列移动时，如果每个粒子所做的功仅取决于终点，那么总和也仅取决于终点，这就是我们想要证明的。现在，考虑在原点处有一个质量为 M 的单粒子，以及一个从 A 移动到 B 的质量为 m 的测试粒子。为了简化计算，假设连接 A 和 B 的路径位于 xy 平面，尽管该论证可以很容易地但相当繁琐地扩展到 3 维。现在，在极坐标系中工作更容易。
当粒子移动一个小的距离 ds 时，所做的功只由作用在 r 方向上的力完成，因此只有 r 方向的运动很重要。由于这对于小距离来说是完全成立的，因此它对于大距离也成立，所做的功只能取决于粒子在 r 中如何移动。也就是说，我们可以忽略 。现在，如果粒子在一个方向上移动一个小距离 dr，然后过了一会儿，在相同半径上，在另一个方向上移动，则功会抵消，因为力和位移都是相同的。这意味着功与路径无关，万有引力是保守力！
由于万有引力是保守力，您可以看到我们可以定义一个位置函数，使得从 a 移动到 b 所做的功只是该函数在 a 处的函数值减去在 b 处的函数值。这样的函数被称为势能——与您已经知道的势能相同！如果相反，我们再退一步，除以质量 m，那么我们得到一个与所讨论的粒子无关的函数，我们称之为势。现在，看看势的一些性质会很有用。
首先，势 的定义性质是，如果将一个质量为 m 的粒子从 a 点移动到 b 点，沿着任何路径移动，那么所做的功为
.
现在，为了找到势的其他重要性质，考虑将一个质量为 m 的粒子在力场 F 中移动一小段距离 。在 x 方向上移动所做的功为
y 和 z 方向也有类似的表达式。
除以 dx 并让 dx 趋于零，我们有，
也就是说，将 对 x 求偏导数，并将 y 和 z 看作常数。
如果我们对 y 和 z 做同样的操作，我们有
.
倒三角只是第一个表达式的简写符号。
这太神奇了 - 关于力的所有信息，一个向量，都被包含在一个标量中。三元分量只用一个量来表示。我们之所以能够做到这一点，是因为我们知道力是保守的，正如你所看到的，这极大地限制了可能的场数。在单维的情况下，你可以看到力是势能的导数。事实上，梯度（对每个变量求偏导数并将它们组成一个向量）是导数在多维空间上的推广之一。
现在很容易看到势能的最后一个重要特性，即它在加法常数上是唯一的。如果你添加了一个依赖于任何变量的函数，那么至少一个偏导数将不为零，你将得到不同的力。但是，如果你添加任何常数，你将得到相同的力，因为常数的导数为零。