带有微积分的物理学/力学/简谐运动、波和声音

简谐运动

如果物体的加速度与其距固定点的位移成正比，并且始终指向该点，则该物体执行简谐运动。

为了探索简谐运动（SHM），让我们以一个没有重力作用的弹簧和质量为例（有趣的是，即使在重力存在的情况下，你也会得到 SHM）。如果这是我们的理想弹簧，则力为 $~kx$，其中 $~k$ 是弹簧刚度的度量，而 $~x$ 是位移。如果那是弹簧的平衡位置，则力指向原点，所以我们写 $~-kx$ 来提醒自己这一点。现在，牛顿第二定律变为

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$.

这个微分方程很容易求解，答案是 $~Acos(\omega _{0}t+\phi )$，其中 $~A$ 和 $~\phi$ 是任意常数，而 $~\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$。我们并不关心我们是如何得到解的，因为我们是物理学家，而不是数学家。这是我们预期的答案，所以我们尝试一下，结果发现，它奏效了。如果你不相信我，把它代入就行了。此外，这是完整的解，你必须相信我，因为它稍难证明。

不失一般性，我们将取 $~\phi$（也称为相移）为零（如果你担心这一点，我们只是定义了 $~t=0$ 的位置）。

现在，我们注意到解的一个显著特点是频率（弧度/秒），$~\omega _{0}$ 独立于 $~A$。也就是说，无论振荡有多大，频率都是一样的。摆锤大约会经历 SHM，所以这就是为什么它们被用于钟表中的原因，振幅不会影响周期！顺便说一下，我们在欧米茄上添加了下标零，因为我们很快就会有一些其他的欧米茄。

要记住的一些术语是频率，f（每秒周期）= $~\omega _{0}/(2\pi )$ 和周期，T = $~1/f$。这些并不那么重要，但通常人们会指定频率或周期而不是角频率，所以它们可能会有所帮助。

现在，要得到速度，对位置求导，要得到加速度，对速度求导。我们有：

$~v=A\omega _{0}sin(\omega _{0}t)$ 和 $~a=-A\omega _{0}^{2}cos(\omega _{0}t)=-\omega _{0}^{2}x$.

现在，我们还没有说明 $~A$ 是什么。事实证明，它取决于问题本身或初始条件。我们可以说振荡器在某个 t 时刻的速度或位置是某个值，然后利用 $~v$ 或 $~a$ 的表达式来求 $~A$。如果你想的话，也可以对相位做同样的操作，但会比较繁琐，而且没有太多启示。

请注意，振荡的最大速度出现在平衡位置 $~(x=0)$。我们可以继续得出类似的结论，但如果你将位置、速度和加速度绘制在同一个图表上，所有这些结论都将变得非常明显。

阻尼

自由振荡的物体以其固有频率振荡。如果它不损失能量，它将永远振荡下去。阻尼是指振荡质量损失能量的过程。阻尼有三种类型

1) 轻阻尼 - 振幅随时间逐渐减小

2) 重阻尼 - 质量会超过 0 位移

3) 临界阻尼 - 位移在不发生振荡的情况下减小到 0。

阻尼的原因是摩擦力，例如汽车悬挂系统

让我们试着量化一下。假设存在一个与速度成正比的摩擦力（在许多情况下，这都是一个很好的近似），比例常数为 c。然后，根据牛顿第二定律，

$~m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0$.

这个方程比没有摩擦的情况下要难解一些。我们将使用一个非常巧妙的技巧，你会在整个物理学中以及遇到类似方程时都用到它。请注意，如果 $~x$ 是一个解，而 $~y$ 也是一个解，那么 $~ax+by$ 也是一个解，其中 $~a$ 和 $~b$ 是常数（实数或复数）。这个性质意味着该方程被称为“线性”。我们知道 $~e^{ix}=cos(x)+isin(x)$。假设 $~x$ 为 $~Ae^{i\omega t}$。然后我们只需要取 $~x$ 的实部，因为方程是线性的，但指数比正弦和余弦要容易处理得多，我们就得到了答案。运动方程变为

$~(-m\omega ^{2}+i\omega c+k)e^{i\omega t}=0$

所以，

$~(m\omega ^{2}-i\omega c-k)=0$ 或 $~\omega _{0}=ic/2m\pm {\sqrt {(c/m)^{2}/4-k/m}}$。

定义 $~\gamma =c/m$，并记住 $\omega _{0}^{2}=k/m$

$~\omega =i\gamma /2\pm {\sqrt {-\gamma ^{2}/4+\omega _{0}^{2}}}$.

定义 $~\omega _{\gamma }={\sqrt {-\gamma ^{2}/4+\omega _{0}^{2}}}$，我们得到一般解

$~Ae^{-\gamma /2+i\omega _{\gamma }}+Be^{-\gamma /2-i\omega _{\gamma }}=e^{-\gamma /2}(Ae^{i\omega _{\gamma }}+Be^{-i\omega _{\gamma }})$.

我们只需要用欧拉公式取该式的实部，得到，

$~Ce^{-\gamma /2}cos(\omega _{\gamma }t+\phi )$,

其中 $~C$ 和 $~\phi$ 只是 $~A$ 和 $~B$ 的另一种表达方式。如果你想找到它们，可以找到，但它们不会有什么帮助。注意，振荡器以不断减小的振幅振荡，但不是以它的“自然”频率振荡，而是以不同的频率振荡。

可以想象，$~\omega _{\gamma }$ 是虚数，在这种情况下，整个解就是一个负指数！这被称为临界阻尼，当它仅仅变成指数而不是振荡运动时。

波

我们都见过水波，比如池塘或水坑里的涟漪。虽然波从一个点移动到另一个点，但水本身并没有跟着移动。那么，波是什么呢？它们有点难以定义，但它们存在于整个物理学中——水波、地震波、声波、光波等等。波通常以传播自身为特征；如果你让波单独存在，它会继续前进。但我们已经有了例外，因为有些材料会吸收波，所以它不一定会继续前进。此外，波通常通过介质传播，介质是物质的一种花哨的名称。水波在水中传播，声波在空气中（或几乎任何其他物质中）传播。然而，光似乎不在介质中传播，而是通过空旷的空间传播。因此，波似乎甚至不需要任何东西来传播。无论如何，与其四处询问试图弄清楚波究竟是什么，不如让我们尝试说一些关于波的有用信息。

首先，我们将介绍一个常见的波动方程（描述波如何运动的方程），它适用于真空中的电磁波、细绳上的小波以及小的声波。然后我们将看看它的解，并尝试理解一些波的原理。

$~\nabla ^{2}E={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}t}}$

$~\nabla ^{2}E\equiv {\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}y}}+{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}z}}$

$~E$ 可以是压力、位移或电场的一个分量，或者其他东西，但无论如何，这是你在许多事物中得到的方程。

首先，让我们看看一维方程。

$~{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}z}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}t}}$.

我会告诉你这个方程的解，因为那是我们关心的。证明它们是唯一解比验证它们是解要难一些，但你必须相信我。我们并不真正关心如何得到解，因为我们是物理学家，不是数学家。

$~E=Af(x+ct)+Bg(x-ct)$

其中 $~A$ 和 $~B$ 是任意常数，而 $~f$ 和 $~g$ 是任意函数。有趣的是，$~f$ 和 $~g$ 是什么并不重要！从物理学上讲，这两个项对应于以速度 c 向左和向右传播的波。注意，如果我有两个解，比如 $~E$ 和 $~E'$，则 $~aE+bE'$ 也是一个解，其中 $~a$ 和 $~b$ 是任意常数。这是该波动方程解最有用性质之一。此性质被称为线性。

所以，我们知道关于波的一切，因为我们有波动方程的解，对吧？错了。让我们考虑这个方程的一些特别特殊的解，并研究一下它们。

$~Acos(-\omega t+kx+\phi )$

是一个解，只要

$~{\frac {\omega }{k}}=c$.

$~k$ 被称为波数或波向量（当我们查看三维解时它将是一个向量），$~\omega$ 被称为频率（以弧度每秒为单位测量，而不是每秒周期），$~\phi$ 被称为相位移，以及 $~A$ 被称为振幅。从物理上讲，这对应于一个频率为 $~k$ 的正弦波向右移动，每一点以频率 $~\omega$ 上下移动。也就是说，$~k$ 是空间中的频率，而 $~\omega$ 是时间上的频率。$~c$ 在这种情况下被称为相速度（我们将看到另一种速度，但对于这个特定方程，它恰好与这种速度相同）。

有些人喜欢用每秒周期来谈论频率，并给它一个特殊的名称，$~f$。有些人喜欢谈论波长，$~\lambda$，它只是 $~{\frac {2\pi }{k}}$ 并且是波峰到波峰的距离。相当明显的是，$~\lambda f=c$ 因为 $~{\frac {\omega }{k}}=c$。有些人称其为物理学中最重要或最美的关系之一，但我不同意。这真的不是那么深刻，它只是告诉我们，如果每秒钟有 $~f$ 个波峰经过我们，并且波峰到波峰的距离是 $~\lambda$，那么波的速度就是 $~f\lambda$，这只是使用转换因子。实际上它相当平淡无奇。

那么，我们如何利用我们找到的这些解呢？当然，是创造新的解！我们已经知道，如果我们有两个解，我们可以将它们加在一起得到另一个解。我们使用傅里叶分析，你会发现它几乎出现在任何你发现线性系统的地方。事实证明，我们可以将任何周期函数，无论是否不连续，都写成许多不同频率的正弦波和余弦波的总和。因此，我们通常通过找到不同分量的系数来根据边界条件构建一个解。这是正弦波最牛的地方——它们加起来可以构成你想要的任何函数。

三维解

为了从一维推广到三维，我们将 k 和 x 转换为向量：$k\rightarrow {\vec {k}}$ 和 $x\rightarrow {\vec {r}}$。为了创建标量相位，我们需要取这两个向量的点积。

$cos(-\omega t+kx+\phi )\rightarrow cos(-\omega t+{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}+\phi )$