带微积分的物理学/力学/线性和旋转类比

我们已经看到，将距离替换为角位移，速度替换为角速度，加速度替换为角加速度，所有运动学方程都将成立。这使我们考虑了力和动量以及能量的旋转类比。

扭矩

力的旋转类比是什么？从日常经验中，我们知道旋转离轴线较远的把手比靠近轴线的把手更容易。我们还知道，只有垂直于手柄的分力才能做功，因为如果我们沿着手柄推它，我们就不会旋转手柄。因此，我们预计力的旋转类比，称为扭矩，由下式给出

$\tau =rF\sin \theta$

或者，用向量表示法，

$\mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

其中$\mathbf {r}$ 是指向垂直于轴线远离轴线到施力点的矢量。

我们可以推广上述公式，该公式适用于绕轴的刚体旋转。旋转更普遍地围绕一个点而不是一个轴线。对于绕一点的旋转，$\mathbf {r}$ 是从旋转中心指向施力点的矢量。扭矩仍然由$\mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$给出。对于绕轴旋转的物体，可以验证在旋转轴上选择的任何旋转中心都将根据$\mathbf {r}$的任一定义给出相同的扭矩。

让我们更详细地检查刚体绕轴旋转的扭矩方程。我们有

$\tau =\sum rF_{\perp }=\sum r(ma)=\sum mr(r\alpha )=\alpha \sum mr^{2}$

我们定义

$I=\sum mr^{2}$为惯性矩。请注意，r 取为距轴线的距离，而不是距原点的距离。

我们可以将扭矩方程改写为

$\tau =I\alpha$

请注意此方程与牛顿第二定律之间的相似之处。牛顿第二定律指出，力会导致加速度，并且加速度的大小与质量成反比。这条定律，我们称之为旋转运动的牛顿第二定律，指出扭矩会导致角加速度，与惯性矩成反比。惯性矩取决于质量围绕轴线的分布情况。离轴线较远的质量比相同质量离轴线较近的质量具有较高的惯性矩。惯性矩不是任何物体的唯一值；一般来说，惯性矩对于每个旋转轴是不同的。对于有限数量的物体，我们可以简单地计算总和。对于连续的物质分布，我们使用

$I=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV$

其中$\rho$是密度。这个积分通常很难计算。球体和圆柱体等简单几何形状的惯性矩在各种表格中给出，这些表格围绕常用轴线给出。

假设我们知道质心轴的转动惯量，$I_{o}$。那么，关于任何其他平行于第一个轴线的转动惯量由下式给出。

$I=I_{o}+Md^{2}$

其中d是两轴之间的距离。

角动量

我们知道$F={\frac {dp}{dt}}$，其中p是动量。类似地，我们会认为$\tau ={\frac {dL}{dt}}$，其中L是角动量，由$L=I\omega$给出，对于绕轴旋转的刚体而言。像线性动量一样，角动量守恒。**角动量守恒**是物理学中最基本的法则之一，并且经过实验验证具有惊人的精确度。虽然牛顿万有引力定律和他的第二运动定律在相对论和量子力学中不成立，但角动量守恒在每个物理理论中都成立。

角动量就像线性动量一样被使用。在不知道也不关心所涉及的特定力矩的情况下，角动量可以加深我们对情况的理解。例如，假设一颗恒星以速度$\omega _{0}$旋转，当它突然（由于引力坍缩）缩小到原来的一半大小时。转动惯量由$I={\frac {2}{5}}MR^{2}$给出。它的最终旋转速度是多少？

在这种情况下，我们对使它进入最终状态的力矩不感兴趣，也一无所知。我们知道角动量守恒。因此，${\frac {2}{5}}MR^{2}\omega _{0}={\frac {2}{5}}M({\frac {1}{2}}R)^{2}\omega _{f}$，因此最终旋转速度是其原始速度的四倍。

一般来说，关于任何给定点的角动量由$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$给出。这比上面的公式更通用，上面的公式仅适用于绕轴的刚体旋转。第一个方程可以从更通用的公式推导出来。