带微积分的物理学/力学/一维运动

一维运动

作为物理学，其本质是研究运动，我们将从研究一维运动开始。

为了简化我们的讨论，我们希望创建真实物体的模型。因此，我们创建了“粒子”的概念。简单来说，粒子是一个非常小的物体，其长度、宽度和高度可以忽略不计。有了这个粒子概念，我们可以明确地定义它到原点的距离，而无需担心从哪个点测量物体。

位置

考虑一个沿直线运动的粒子。它的位置可以用一个数字x来描述。这个数字可以看作是粒子到原点的距离，或者从原点指向粒子的向量的模长。粒子的实际位移实际上是一个只有一项的向量（因为我们是在一维空间中工作），但是由于方向是已知的，它可以仅通过模长明确地指定。

值x以米为单位测量，为了解释它，必须隐含一个粒子以及一个参考系或坐标系。如果粒子在不同时间不保持在同一位置，则x的值将随时间变化，因此我们可以定义一个函数x(t)，该函数返回粒子在时间t点的位置。

例如，假设我们有一个位置函数为x(t)= 2t的粒子。它在t = 3时的位置为x(3) = 2(3) = 6 m，位于x轴上。

对于位置函数为x(t)= t² + 5的粒子，它在t = 7 s时的位置为x(7) = 7² + 5 = 54 m，位于x轴上。

速度

考虑一个位置函数的图形。在任何已知的物理条件下，该函数必须是连续的 - 如果它是间断的，则有可能允许物体自发地从一个地方跳到另一个地方。此外，正如我们将在本节末尾看到的那样，位置函数也是二次可微的。在这些条件下，我们能够看到该函数在任何地方都有明确定义的改变率。

一维速度是指位置相对于时间的变化率，以米每秒为单位。测量速度最简单的方法是在两个不同时间测量粒子的位置，然后用位置的变化量（位移）除以时间的变化量。作为公式

${\bar {v}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

其中x_f和x_i分别是最终距离和初始距离，t_f和t_i分别是最终时间和初始时间。

请注意，由于分子具有长度单位，而分母具有时间单位，因此商具有长度除以时间的单位。在 SI 中，速度的单位是米每秒的导出单位。常见的非 SI 速度单位包括英里每小时和节.

示例 1：从原点开始的粒子在 9 秒内移动了 27 米。求 ${\bar {v}}$ .

${\bar {v}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}={\frac {27\ \mathrm {m} -0\ \mathrm {m} }{9\ \mathrm {s} -0\ \mathrm {s} }}=3\ \mathrm {m} /\mathrm {s}$

示例 2：从原点 23 米开始的粒子在 5 秒内移动到 43 米。求 ${\bar {v}}$ .

${\bar {v}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}={\frac {43\ \mathrm {m} -23\ \mathrm {m} }{5\ \mathrm {s} -0\ \mathrm {s} }}={\frac {20\ \mathrm {m} }{5\ \mathrm {s} }}=4\ \mathrm {m} /\mathrm {s}$

然而，平均速度只能告诉我们有限的信息。例如，一个粒子的速度很可能随时间 *t* 变化，我们想要确定粒子在某个时刻的瞬时速度。为了做到这一点，我们在越来越小的的时间间隔内取平均速度，即

$\ v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

展开这个式子，我们得到

$v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {x(t_{f})-x(t_{i})}{t_{f}-t_{i}}}$

并将 $t_{i}$ 和 $t_{f}$ 重写为 t 和 t+ $\Delta t$ ，我们得到

$v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}$

这是导数的定义。所以

$\ v(t)={\frac {dx}{dt}}$

**示例 1：** 一个粒子的运动由方程 $\ x(t)=3t^{2}+5t+2$ 描述。求 a) 粒子的速度函数，b) 粒子在 *t* = 4 s 时的瞬时速度。

a) $v(t)={\frac {dx}{dt}}={\frac {d}{dt}}(3t^{2}+5t+2)=6t+5$

b) $\ v(4)=6(4\ \mathrm {s} )+5=29\ \mathrm {m} /\mathrm {s}$

加速度

正如粒子位置函数的时间导数具有重要意义，即速度，速度函数的时间导数也具有重要意义。在这种情况下，它被称为粒子的*加速度*。你可能之前听说过加速度，比如在谈论汽车或其他车辆时。加速度的单位是米每秒每秒，或 m/s²，读作“米每秒平方”。一些旧的教科书使用等价词语“米每秒每秒”。

平均加速度，或 ${\bar {a}}_{x}$ 与平均速度类似，它与粒子所走的路径无关；它只是速度的变化量除以时间的变化量。

${\bar {a}}={\frac {v_{xf}-v_{xi}}{t_{f}-t_{i}}}={\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}$

再次，通过类似的推导，我们得到了瞬时加速度的定义。

$a(t)=\lim _{t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}$

由于速度是原始位置函数的导数，我们也可以说瞬时加速度是位置函数的**二阶导数**，可以写成如下形式

$a(t)={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

练习

给定一个在一条维度上运动的粒子，其位置函数为 *x*( *t* ) = 5*t*³ – 8*t*² + 20
1. 确定速度 *v* 作为时间 *t* 的函数。
2. 确定加速度 *a* 作为时间 *t* 的函数。
3. 粒子将在什么时间(s) 瞬间停止？
4. 粒子将在什么时间(s) 加速度为零？
一个做简谐运动的粒子，其位置由函数 *x*( *t* ) = (80 cm) sin [(20 s^-1) *t* ] 定义。
1. 确定速度 *v* 作为时间 *t* 的函数。
2. 确定加速度 *a* 作为时间 *t* 的函数。
3. 粒子的运动周期是多少？(也就是说，粒子需要多长时间才能回到它开始时的位置和速度？)
不考虑空气阻力的影响，一个苹果从树上掉下来，其加速度恒定为 9.8 m/s²。
1. 苹果的速度 *v*( *t* ) 是多少？
2. 苹果在自由落体一秒后的速度是多少？
3. 位置 *x*( *t* ) 是多少？
4. 苹果在自由落体一秒后的位置是多少？两秒？三秒？

二维或三维运动

描述一个粒子在二维或多维空间的运动可能比在一维空间中更复杂，因为，粒子可以沿无数条路径运动，而不仅仅是在 *x* 轴上进行前后运动。为了正确地描述一个粒子的运动，我们必须使用向量。

位置

在处理一维运动时，我们可以用一个变量来描述物体的位置，即它在 *x* 轴上的位置。现在我们有了两个或更多个轴，我们需要 *每个轴* 一个变量来描述粒子的位置。我们可以使用位置向量（用 **r** 表示）来描述这个粒子的位置。在二维情况下，位置向量从原点指向粒子在笛卡尔平面上的位置，并有两个坐标，即粒子的 *x* 位置和粒子的 *y* 位置。

**示例 1**：一个粒子在笛卡尔平面上的 (4, 5) 位置可以描述为沿 *x* 轴移动 4 个单位，沿 *y* 轴移动 5 个单位，也可以描述为位置向量 **r** = <4, 5> = 4**i** + 5**j**，其中 **i** 和 **j** 分别是 *x* 方向和 *y* 方向上的单位向量。

从这个例子中，我们可以看到位置向量采用 <*x*, *y*> 的形式，其中 *x* 是沿 *x* 轴移动的距离，*y* 是沿 *y* 轴移动的距离。

**示例 2**：一个碳原子位于扫描隧道显微镜尖端的东边 7.0 纳米，北边 0.5 纳米，下方 3.0 纳米。它的位置向量 **r** = <7.0 纳米，0.5 纳米，–3.0 纳米>。取 **i** 为东，**j** 为北，**k** 为上，**r** = (7.0 纳米)**i** + (0.5 纳米)**j** + (–3.0 纳米)**k**。