带微积分的物理/力学/二维运动

等加速度运动

在某些情况下，您会发现一个粒子以恒定速率加速，因此推导出问题参数之间的一些基本关系非常有用。恒定加速粒子的问题完全由总行程时间、初始位置、初始速度和加速度来表征。也就是说，我们只需用这些量就可以算出任何时间粒子的任何信息。

我们将从问题的定义开始，即粒子具有恒定加速度

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=a=const.$.

积分一次，我们得到

${\frac {dr}{dt}}=at+C$.

根据速度的定义，我们有

$v=at+v_{0}$

(我已经用 $v_{0}$ 替换了 C，因为在 t = 0 时，$C=v(0)$，这是一个常数，并且将其称为 $v_{0}$是有意义的)。

再次积分，我们得到

$r={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+r_{0}$

其中 $r_{0}$ 是初始位置。

现在我们可以找到位置和速度作为时间的函数，这是问题的完整解。然而，将行程距离作为独立变量而不是时间，通常很有用。要做到这一点，我们只需要从上面的两个方程中消去 t 即可。结果是

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a(r-r_{0})$.

不太有用，但通常会教授使用平均速度作为独立变量。函数在 a 和 b 之间的平均值定义为

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx$.

这是当参数数量趋于无穷大时算术平均数的极限。

因此，平均速度（按时间平均）是

${\bar {v}}={\frac {r-r_{0}}{t}}$.

用时间函数 a 和 v 的方程消去 r 和 $r_{0}$，我们得到

${\bar {v}}={\frac {1}{2}}(v+v_{0})$.

所以，以下是结果列表

$v=at+v_{0}$

$r={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+r_{0}$

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a(r-r_{0})$

${\bar {v}}={\frac {r-r_{0}}{t}}$

${\bar {v}}={\frac {1}{2}}(v+v_{0}).$

我可以想出更多自变量（这很简单！），但通常在需要时直接计算会更容易，而不是记住一大堆简单的结果表。类似地，你可以计算位置三阶导数（通常称为加加速度）或甚至常数 n 阶导数的类似结果。或者如果 n 阶导数等于给定函数，例如加速度$=ksin(cosh(t/t_{0}))$。这一切归结于进行一些复杂的积分运算，然后是一些复杂的代数运算。关键是，计算匀加速运动的唯一原因是因为它经常出现，否则它毫无价值。

多维运动

一个有趣的结论是，粒子在一个方向上的运动不会影响任何垂直方向上的运动。经典的例子是，如果你水平地射击一把枪，同时丢下一颗子弹，它们会同时落地，就好像它们从同一个高度开始一样。也就是说，子弹水平方向的运动对它垂直方向的运动没有任何影响。你可能会问，为什么纸飞机被扔和掉落时不会同时落地？答案是情况根本不同，因为你和空气有相互作用。

用数学精确地说，速度实际上是一个向量。它像向量一样相加，你可以把它分解成像向量一样的分量。

利用这个概念，让我们推导出向量的匀加速运动方程，你就能看到向量有多么有用。

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=\mathbf {a} .$

也就是说，

${\frac {d^{2}r_{i}}{dt^{2}}}=a_{i}$

其中下标表示向量的第 i 个分量。

对每个分量进行积分（或者等效地，对向量进行积分），

$\mathbf {v} =\mathbf {a} t+\mathbf {v_{0}}$.

很容易看出，所有事情都在以与一维情况完全相同的方式进行，只是我们在每个分量上都做了这个运算！

因此我们有

$\mathbf {r} ={\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}+\mathbf {v_{0}} t+\mathbf {r_{0}}$

${\bar {\mathbf {v} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {v_{0}} )$

${\bar {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} }{t}}$

以及一些复杂的向量代数，

$v^{2}{\hat {\mathbf {a} }}=v_{0}^{2}(2{\hat {\mathbf {v_{0}} }}\cdot {\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {v_{0}} }}-{\hat {\mathbf {a} }})+2\|\mathbf {a} \|(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )+2\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {v_{0}} \|({\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v_{0}} }}{\hat {\mathbf {a} }}-{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {v_{0}} }})$.

可以简化为

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v_{0}} \cdot \mathbf {v_{0}} +2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )$.

如果你想知道的话，这就是它的结果。向量上方的帽子表示该向量除以其大小，使其成为原始向量方向上的单位向量。