带微积分的物理/力学/牛顿万有引力定律和重量

牛顿万有引力定律

如前所述，万有引力是自然界中四种相互作用之一，它是四种相互作用中最早被广泛研究的。艾萨克·牛顿在 17 世纪发现，使苹果从树上掉落的相同相互作用也使行星绕太阳运行。除了他的三大运动定律，牛顿于 1687 年发表了万有引力定律。它可以表述如下

宇宙中每个物质粒子都以一种力吸引其他每个粒子，该力与粒子的质量乘积成正比，与它们之间的距离平方成反比。

用数学语言来说，万有引力定律可以表示为$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},$

其中

• F 是两个点质量之间的万有引力的量级，
• G 是万有引力常数或$G=\left(6.67428\pm 0.00067\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}$,
• m₁ 是第一个点质量的质量，
• m₂ 是第二个点质量的质量，
• r 是两个点质量之间的距离。

牛顿万有引力定律可以写成向量方程，以说明万有引力的方向及其大小。在这个公式中，粗体中的量表示向量。

$\mathbf {F} _{12}=-G{m_{1}m_{2} \over {\vert \mathbf {r} _{12}\vert }^{2}}\,\mathbf {\hat {r}} _{12}$

其中

$\mathbf {F} _{12}$ 是物体 1 对物体 2 的作用力

$G$ 是万有引力常数

$m_{1}$ 和 $m_{2}$ 分别是物体 1 和物体 2 的质量

$\vert \mathbf {r} _{12}\vert \ =\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert$ 是物体 1 和物体 2 之间的距离

$\mathbf {\hat {r}} _{12}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}{\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert }}$ 是从物体 1 到物体 2 的单位向量

可以看出，该方程的向量形式与前面给出的标量形式相同，只是F现在是一个向量量，并且右侧乘以相应的单位向量。此外，可以看出F₁₂ = − F₂₁。

重力加速度是指物体由于另一个物体的重力而产生的加速度。在没有其他力的作用下，任何物体都会以相同的速度在重力场中加速，而与物体的质量无关。在地球表面，所有物体都会以9.78到9.82 m/s²之间的加速度下落，具体取决于纬度，而公认的标准值为9.80665 m/s²（约为32.174 ft/s²）。

物体所受到的重力加速度由以下公式给出：

$\mathbf {g} =-{mG \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}}$

其中

m 是物体的质量，

r 是从物体中心到我们所考虑位置的距离，

$\mathbf {\hat {r}}$ 是从物体中心到我们所考虑位置的单位长度向量，

G 是宇宙的万有引力常数。

正如我们所见，重力加速度与参考粒子的质量无关。

物体的重量是指宇宙中所有其他物体对该物体施加的总重力。当物体靠近地球表面时，我们可以忽略所有其他重力，并将重量视为仅地球的重力吸引力。如果我们将地球建模为一个球形对称体，那么质量为m的小物体在地球表面的重量为

$w=F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$