带微积分的物理学/力学/抛射运动

抛射运动

使用我们在上一节中推导出的方程式，我们现在可以利用它们来模拟抛射物的运动。抛射物是一个仅受重力作用的物体，这意味着在所有情况下，y方向的加速度，$a_{y}=-g$。为了简化，我们将假设抛射物的路径，也称为其轨迹，将始终呈抛物线形状，并且空气阻力对抛射物的影响可以忽略不计。

水平运动

由于作用在物体上的唯一力是重力，它位于y方向，因此在x方向没有加速度。

假设抛射物在时间t = 0以速度v_i离开原点。然后我们有一个向量v_i，它与x轴成θ_i角。然后，使用一些三角学，我们有以下结果

$\cos \theta _{i}={\frac {v_{xi}}{v_{i}}}$

以及

$\sin \theta _{i}={\frac {v_{yi}}{v_{i}}}$

重新排列以获得初始速度，我们得到初始x和y速度分量为

$v_{xi}=v_{i}\cos \theta _{i}$ 以及 $\ v_{yi}=v_{i}\sin \theta _{i}$

$x=v\cos(\theta )t$

垂直运动

有一个恒定的向下加速度g，它是重力。加速度是速度的瞬时变化率，因此

${\frac {dv}{dt}}=a=g$

因此，我们可以对加速度进行时间积分以获得速度

$\int dv=\int gdt$

$v=gt$

速度是位移的瞬时变化率，因此

${\frac {dd}{dt}}=v$

我们还可以对速度进行时间积分以获得位移

$\int dx=\int vdt$

$\int dx=\int gtdt$

$d={\frac {1}{2}}gt^{2}$