带微积分的物理学/力学/旋转运动

向心加速度

一些符号问题

<---! 本讨论的某些部分可能属于本书的另一个位置！--->

1. 通常，用分量形式写向量很方便，不使用单位向量，例如：${\vec {r}}(t)=\left[\,(x(t),y(t),z(t)\,\right]$
2. ${\vec {r}}$ 的独特性在于它的分量不是 \left[\,r_x, r_y,r_z\,\right] </math>
3. 向量微分存在不可弥补的歧义。普遍认为 $\Delta r$ 代表幅值的微分，$\Delta r\equiv \Delta \left|{\vec {r}}\,\right|$。另一方面，在匀速圆周运动中，$|\,v\,|$ 是一个常数，因此在黑板上或纸上写 $\Delta v$ 作为 $\left|\Delta {\vec {v}}\,\right|$ 可能更方便。所以，我们应该将这种非标准符号写进文本吗？

沿着弯曲路径的加速度的严格讨论

简单地说，粒子的加速度由两部分组成

${\vec {a}}={\frac {\rm {dv}}{\rm {dt}}}{\hat {\tau }}+{\frac {v^{2}}{R}}{\hat {\eta }}$

其中 ${\hat {\eta }}$ 和 ${\hat {\tau }}$ 是单位向量（称为eta-hat 和 tau-hat）； ${\hat {\tau }}$ 指向路径的切线方向，而 ${\hat {\eta }}$ 指向曲率中心（垂直于 ${\hat {\tau }}$）。到曲率中心的距离为 R。通常使用符号 ${\rm {d\ell }}$ 表示位置的微小变化。使用向量的分量表示法

${\rm {d{\vec {\ell }}\equiv {\rm {d{\vec {r}}=\left[\,{\rm {dx,{\rm {dy,{\rm {dz\,}}}}}}\right]}}}}$.

一些作者将此称为 ${\rm {ds}}$。在电磁学（安培定律）和广义相对论（固有时间）中，该向量的标量大小都很重要

${\rm {d\ell ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}}$

使用点来表示关于时间的微分很方便

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\equiv {\dot {\vec {x}}}$

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\equiv {\dot {\vec {v}}}$

请注意 $v\equiv |{\vec {v}}|={\frac {d\ell }{dt}}$。接下来，我们定义切线单位向量 ${\hat {\tau }}$，作为平行于速度的单位向量。

${\hat {\tau }}={\vec {v}}/v$

现在我们证明 ${\hat {\tau }}$ 的微分是正交的（垂直于） ${\hat {\tau }}$。我们首先定义 ${\vec {\eta }}$ 向量如下

${\vec {\eta }}\equiv {\frac {d{\hat {\tau }}}{d\ell }}$

由于（根据单位向量的定义）${\hat {\tau }}\cdot {\hat {\tau }}$ 的导数为零，我们有

${\frac {d({\hat {\tau }}\cdot {\hat {\tau }})}{d\ell }}=0=2{\vec {\eta }}\cdot {\hat {\tau }}$

使 ${\hat {\eta }}$ 和 ${\hat {\tau }}$ 变得有趣的是，它们仅取决于粒子在空间中的运动轨迹，而不依赖于粒子运动的速率。定义 ${\vec {\eta }}$ 的大小为 $\kappa$，因此

$\kappa {\hat {\eta }}={\vec {\eta }}$.

因此，我们可以将速度的导数，${\vec {v}}={\hat {\tau }}({\rm {d\ell /dt)}}$，看作两个项的乘积的导数。

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\hat {\tau }}}{dt}}{\frac {d\ell }{dt}}+{\hat {\tau }}{\frac {d^{2}\ell }{dt^{2}}}=\kappa \left({\frac {d\ell }{dt}}\right)^{2}{\hat {\eta }}+{\frac {d^{2}\ell }{dt^{2}}}{\hat {\tau }}$.

这意味着首先一个粒子 *永远不会* 在除了法线或切线方向之外的任何方向上加速（当然，也不包括两者的组合）。也就是说，它永远不会在 ${\hat {\tau }}\times {\hat {\eta }}$ 方向上加速。此外，在切线方向上的加速度只改变速度，而不在方向上改变，而在法线方向上的加速度只改变方向，而不在速度上改变。为了辨别 $\kappa$ 的意义，我们考虑一个以半径 R 做匀速圆周运动的粒子。在 x-y 空间，

${\vec {r}}=[R\cos \omega t,R\sin \omega t]$

很容易证明 $\kappa$ （称为 **曲率**）由下式给出：

${\vec {r}}=\kappa ={\frac {1}{R}}$（这个问题尚未解决）

讨论临时

记住这一点。它被称为向心加速度。如果你不记得本节中的其他内容，请记住该公式。请注意，向心加速度指向圆心，而不是向外。你可能会不同意，因为你可能坐过旋转木马或旋转木马，因为你确实感受到了一种向外的力。许多人喜欢说“那不是 *真正的* 力，它只是惯性”。你可能会说，“是的，但我知道我感觉到了一种力”。事实上，你确实感觉到了一种力，它在旋转参考系中是一种真正的力。假设你是一个在圆周上运动的粒子，那么这意味着存在某种力将你拉向圆心，我们将其称为 F。

$F=m{\frac {v^{2}}{R}}$.

但对你来说，你没有看到自己移动，所以你说力的总和为零，并写出

$F_{total}=F-m{\frac {v^{2}}{R}}=0$.

瞧，在等式左边出现了一个神秘的力，即离心力，它指向相反的方向，即径向向外！在旋转框架中，你必须添加这个额外的离心力项（以及另一个科里奥利力项）才能使牛顿第二定律成立。

旋转运动学

如果你了解直线运动学，旋转运动学就轻而易举了。我们使用完全相同的论证来构建几乎相同的公式。

对于旋转运动，我们首先假设所有物体都在一个平面上，并且所有物体都在一个圆周上运动。这是一种相当无聊的情况，所以我们稍后会对其进行推广。某个参考点（通常是 x 轴）和粒子之间的角度。该角度可以是任何实数值，它永远不会从 $2\pi$ 跳到 0 或任何类似的奇怪事情。角度的导数是角速度 $\omega$，它的导数是角加速度 $\alpha$。当然，根据角度的定义，

$\theta ={\frac {s}{R}}$

其中 s 是弧长。因此，我们有

$\omega ={\frac {v}{R}}$

以及

$\alpha ={\frac {a}{R}}$.

所有正常的运动学方程式都成立，将 a 替换为 $\alpha$，v 替换为 $\omega$，x 替换为 $\theta$.

旋转动力学

我们可以用向量来描述粒子的位置。如果我们添加两个位移向量，我们得到总位移，并且添加的顺序无关紧要。但是，对于角度，没有这样的向量量，因为旋转不满足交换律，这意味着添加的顺序很重要。例如，将一本书绕水平轴旋转 90 度，然后绕垂直轴旋转 90 度，与先绕垂直轴旋转 90 度，然后再绕水平轴旋转 90 度的结果不同。

可以证明，非常小的旋转确实满足交换律，因此可以定义角度变化率的向量。虽然角度不是向量，但角度的变化率是。

我们可以定义角速度，$\omega =(d\alpha /dt,d\beta /dt,d\gamma /dt)$，其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 分别是与 x、y 和 z 轴的角度。物体的角速度的大小等于绕单位半径旋转轴运动的粒子的速度，方向为旋转轴的方向，方向遵循右手定则。